数据结构学习笔记之平衡二叉树

1. 定义

  在计算机科学中，AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

  在之前的二分搜索树中，有一个很大的问题，如果我们添加节点的顺序是有序的，那么树将会退化成链表，导致失去了树的优势，查询的时间复杂度变为了 O(n)。平衡二叉树的出现解决了这种问题，它是一种在添加节点时可以自平衡的二叉树。
  平衡二叉树的高度和节点数量之间的关系是O(logN)的。根据平衡二叉树的性质，左右子树的高度差不能超过一，所以需要跟踪每一个节点高度，以求出当前节点的平衡因子，然后通过旋转重新平衡当前树，我们可以在二叉搜索树的基础上增加一个属性height，如下:

class Node{
    E e;
    int height;
    Node left, right;
}

2. 基本使用
     由于AVL树和之前的二分搜索树类似，所以我们可以直接使用之前的代码，然后将其改造。首先我们添加节点时，我们要更新该节点和其父节点的高度，然后计算平衡因子（左子树高度减去右子树高度），如果平衡因子的绝对值大于一，表示当前的树已经出现 "倾斜"，所以我们必须通过树左旋和右旋完成树的重新平衡。
     在添加节点之后，如果出现不平衡，那肯定出现在新节点的祖先节点中。所以我们加入节点之后，沿着节点向上维护平衡性。
   （1）LL（右旋转）
     当插入的元素在不平衡节点左侧的左侧时，可以通过右旋转来重新维护平衡，具体流程如下:

右旋

    private Node rightRotate(Node root){
        Node newRoot = root.left;
        root.left = newRoot.right;
        newRoot.right = root;
        root.height = Math.max(getHeight(root.left) , getHeight(root.right)) + 1;
        newRoot.height = Math.max(getHeight(newRoot.left), getHeight(newRoot.right)) + 1;
        return newRoot;
    }

（2）RR（左旋转）
  当插入的元素在不平衡节点右侧的右侧时，可以通过右旋转来重新维护平衡（和右旋镜像）。

    /*
    *  当插入的节点在不平很节点右侧的右侧，进行左旋转
    *        y                                                 x
    *     /    \                                              /  \
    *    t4     x                                            y    z
    *         /   \     ==> x.left = y; y.right = t3;      /  \  / \
    *        t3    z                                      t4  t3 t2 t1
    *             / \
    *            t2  t1
    * */
    private Node leftRotate(Node root){
        Node newRoot = root.right;
        if(newRoot != null) root.right = newRoot.left;
        newRoot.left = root;
        root.height = Math.max(getHeight(root.left) , getHeight(root.right)) + 1;
        newRoot.height = Math.max(getHeight(newRoot.left), getHeight(newRoot.right)) + 1;
        return newRoot;
    }

（3）LR
  当插入的元素在不平衡节点左侧的右侧时，先对左侧的子节点进行左旋，然后在对当前节点右旋，具体流程如下：

lr

（4）RL
  当插入的元素在不平衡节点的右侧的左侧时，先对右侧的节点进行右旋，然后在对当前的节点左旋，具体流程如下:

rl

（5）添加和删除节点（详细代码略）

       // 左节点的高度减去右节点的高度
       int balanceFactor  = getBanlanceFactor(root);

        //当插入的节点在不平衡节点左侧的左侧，要进行右旋
        if(getBanlanceFactor(root) > 1 && getBanlanceFactor(root.left) >= 0){
            return rightRotate(root);
        }

        //当插入的节点在不平衡节点右侧的右侧，要进行左旋
        if(getBanlanceFactor(root) < -1 && getBanlanceFactor(root.right) <= 0){
            return leftRotate(root);
        }

        //lr
        if(getBanlanceFactor(root) > 1 && getBanlanceFactor(root.left) < 0){
            return rightLeftRotate(root);
        }
        //rl
        if(getBanlanceFactor(root) < -1 && getBanlanceFactor(root.right) > 0){
            return leftRightRotate(root);
        }

代码地址