高中奥数 2021-09-07

2021-09-07-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P035 习题14）

已知、切于点、,交于点,过作的另一弦.求证:、存在一个公共的旁心.

证明

连结、、、、、,则,故、、、共圆.

图1

,结合知,于是,,,共圆.

令直线与相交于,,且在内部,那么,于是平分,同理可证,平分,故为内心.

又,、、共线,所以为的旁心.

由点的任意性,将移至,移至有相同结论.

为的旁心.

所以,有一个公共的内的旁心.

2021-09-07-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P035 习题15）

已知,点在边上,、、分别是、、在内的旁心,于点.求证:.

证明

设、在边上的垂足分别为、,则所以,连结,,,,,所以,即,于是.

图2

即,所以,从而有.

即.

2021-09-07-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P035 习题13）

是直角三角形斜边上的高,,、分别是、的内心,的外接圆分别交、于、,直线、交于点.证明:、分别是的内心与旁心.

证明

因为,又为外心,所以.

图3

又,.

由此可得.

所以,,所.

故平分线为,又平分,即为内心.

又,平分,所以平分,而为平分线.

所以为旁心.