整数划分

题目：

"The problem is, given an positive integer N, we define an equation like this:
  N=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[m];
  a[i]>0,1<=m<=N;
My question is how many different equations you can find for a given N.
For example, assume N is 4, we can find:
  4 = 4;
  4 = 3 + 1;
  4 = 2 + 2;
  4 = 2 + 1 + 1;
  4 = 1 + 1 + 1 + 1;
so the result is 5 when N is 4. Note that "4 = 3 + 1" and "4 = 1 + 3" is the same in this problem. Now, you do it!"

A.递归函数法

用函数f(n,m)表示：把数字n拆分所能得到的式子个数，其中所拆分得到的数中最大不超过数字m。故在原题中所求的即为f(n,n)。

在讨论f(n,m)时，可大体上分为四种情况讨论：

1.当n=1或m=1时，f(n,m)=1。//最基本的一点

1.当n=m时,f(n,m)=f(n,n-1)+1。

   因为数字n要拆分成含n的几个数字之和，只有n=n这一个式子。

2.当n<m时，f(n,m)=f(n,n)。

3.当n>m时，f(n,m)=f(n,m-1)+f(n-m,m)。//难点，也是整个递归法的重点

  此时还可分为两种情况讨论：

  a.当划分中不包含m时：

      因不包含m，故剩下的划分数都比m要小，其中最大的为m-1,因此，这种情况下的划分个数为f(n,m-1)；

  b.当划分数包含m时：

      即{m,(a1,a2,a3，...,ai)},其中（a1,a2,a3,...,ai）的和为n-m，此时m还有可能再次出现，故此种情况下的划分个数为f(n-m,m)；

  综上f(n,m)=f(n,m-1)+f(n-m,m)。

代码如下：

 1 #include<iostream>

 2 using namespace std;

 3 

 4 int f(int n,int m)

 5 {

 6     if(n<1 || m<1) return 0;

 7     if(m==1 || n==1) return 1;

 8     if(m>n) return f(n,n);

 9     if(m==n) return (f(n,m-1)+1);

10     if(n>m) return (f(n,m-1)+f(n-m,m));

11 }

12 

13 int main()

14 {

15     int n;

16     while(cin>>n)

17     {

18         cout<<f(n,n)<<endl;;

19     }

20     return 0;

21 }

 

//递归函数虽然思路简单，但十分耗时，当数据较大时就不能用了！

 

B.母函数法.

母函数：

   对于任意数列a0,a1,a2...an 即用如下方法与一个函数联系起来 即：

  G(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 +....+ anx^n

  则称G(x)是数列的生成函数(generating function)即母函数。

在上面题目中构造的母函数为g(x)=(1+x^1+x^2+x^3+...+x^i)(1+x^2+x^4+x^6+...+x^2i)(1+x^3+x^6+x^9+...+x^3i)...(1+x^n+x^2n+...+x^nj)

代码如下：

 1 #include<iostream>

 2 using namespace std;

 3 

 4 #define M 200

 5 

 6 int c1[M],c2[M];

 7 

 8 int main()

 9 {

10     int n;

11     while(cin>>n)

12     {

13         memset(c1,0,sizeof(c1));

14         memset(c2,0,sizeof(c2));

15         c1[0]=1;

16         int j,i,k;

17         for(i=1;i<=n;i++)//i代表的是第i个括号 18         {

19             for(j=0;j<=n;j++)//j代表的是第i个括号前i-1个括号全部相乘后,所得到的的一个新的大括号里的x的指数 20                 for(k=0;k+j<=n;k+=i)//k代表的是第i个括号里的x的指数 
21                 {

22                     c2[k+j]=c2[k+j]+c1[j];

23                 }

24             for(j=0;j<=n;j++)

25                 c1[j]=c2[j];

26              memset(c2,0,sizeof(c2));

27         }

28         cout<<c1[n]<<endl;

29     }

30     return 0;

31 }