整数中1出现的次数

题目描述

输入一个整数n，求1_{n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如，输入12，1}12这些整数中包含1的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。

解法一：

遍历所有的数字，不停地将数字i%10，i/10，求得每个数字含有1的个数。每个数字i有logi位，所以时间复杂度为O（nlogn）。效率很慢，不推荐。

解法二：

观察数字规律。
假如n=23，即序列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23
1-9中共有1个1，
10-19中每个数字的开头都有1，如果不考虑开头的1，则变为求0-9中1的个数，与1-9中1的个数相同。10-19一共10个数字，算上每个开头都有的1，加上0-9中1的个数，一共有11个1，
20-23中每个数字的开头为2，可以不考虑，则变为求0-3中1的个数，则20-23中共1个1
所以1-19中共有13个1。
由此我们可以看出，位数更多的数是由位数更低的数组成的，以1-20为例，
我们只需要知道含有多少组0-9，（为了与10之类的低位0符合，采用0~9而不是1-9），也即各位为1的数量，则序列退化为0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，20，20，20，20，
再统计有多少组10即可，也即十位为1的数量。
可以推而广之，知道任何一位1的数量，最后相加即可得到1的总数量。
个位1的数量，我们可以计算n/10的值i1，n%10的值y1，若y1>=1，则s1=i1+1，若y1=0，则s1=i1
十位1的数量，我们可以计算n/100的值i2，n%100的值y2，若y2>=20，则s2=i2 * 10+10，若10<=y2<20，则s2=i2 * 10 + y2 % 10 + 1，若0<=y2<10,则s2=i2 * 10
百位1的数量，我们可以计算n/1000的值i3，n%1000的值y3，若y3>=200，则s3=i3 * 100 + 100，若100<=y3<200，则s3=i2 * 100 + y3 % 100 + 1, 若0<=y3<100，则s3=i3 * 100
……
……
所以个位1的数量也可以写成
个位1的数量，我们可以计算n/10的值i1，n%10的值y1，若y1>=2，则s1=i1 * 1 + 1，若1<=y1<2，则s1=i1 * 1 + y1 % 1 + 1，若0<=y1<1，则s1=i1*1
于是可以通过循环很简单来实现，时间复杂度为O（logn）

public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        int num = n;
        int divisor = 1;
        int sum = 0;
        while(num / 10.0 > 0) {
            int i = n / (divisor * 10);
            int y = n % (divisor * 10);
            if(y >=  2 * divisor) {
                sum += i * divisor + divisor;
            }
            else if(y >= divisor && y < 2 * divisor){
                sum += i * divisor + y % divisor + 1;
            }
            else {
                sum += i * divisor;
            }
            divisor *= 10;
            num /= 10;
        }
        return sum;
    }
}

注意循环条件为num/10.0而不是num/10，这是为了保证只有个位数的情况。