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基变换与矩阵对角化

矩阵乘法的本质是映射坐标

\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}的意思是把\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}映射到以\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}和\begin{bmatrix} 2\\ 0 \end{bmatrix}为基的向量空间中

\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}表示将\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}展示成我们正常基向量空间中显示，而\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1& 0 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}是将\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}用其本身的坐标系展示。

这也是基变换的本质，如果想对一组在\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1& 0 \end{bmatrix}向量空间中的向量\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}进行旋转操作，旋转逆时针90度\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}，则需要先将其转换为我们向量空间中显示，即\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}，然后再执行旋转操作\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}，最后再将它转变为自己的坐标系展示，\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1& 0 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}。

\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1& 0 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1& 0 \end{bmatrix}就是基变换。

特征向量是当基向量进行旋转，剪切，拉伸等操作后保持不变的向量

\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 0& 2 \end{bmatrix}表示的是原来的基从\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}拉伸成了\begin{bmatrix} 3\\ 0 \end{bmatrix}，\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}变换成\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}，变换过程中只发生拉伸，翻转操作的向量为特征向量。

因为特征向量在\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 0& 2 \end{bmatrix}中映射只会发生拉伸，翻转，所以将特征向量作为基，进行基变换，特征向量为\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1\\ 1 \end{bmatrix}，基变换为\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0& 1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 0& 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0& 1 \end{bmatrix}，结果一定是对角矩阵，因为此变换本质只涉及拉伸，所以一定是对角矩阵。基变换矩阵是特征向量构成的，而特征向量是当前空间进行中间矩阵变换时不空间不变化的向量。所以把当前空间的变换转换到特征基的空间后，变换就变成了对基的放缩操作，也就是特征值构成的矩阵

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