算法学习-拓扑排序（思维例题）

一些知识
AOV网
一个无环的有向图称为有向无环图。有向无环图是描述一个工程、计划、生产、系统等流程的有效工具。一个大工程可以分为若干个子工程（活动），活动之间通常有一定的约束，例如先做什么活动、后做什么活动。
用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系的有向图，称为顶点表示活动的网，简称AOV网。
若顶点i到顶点j之间存在一条有向路径，称顶点i为顶点j的前驱，顶点j为顶点i的后继，若i，j是图中的弧，则顶点i是顶点j的直接前驱，顶点j是顶点i的直接后继。
AOV网中的弧表示活动之间存在制约关系（先后关系）。

例子就不说了，数据结构课都说过。

拓扑排序
拓扑排序是将AOV网中的顶点排成一个线性序列，该序列必须满足：若从顶点i到顶点j有一条路径，则该序列中顶点i一定在顶点j之前
注意：拓扑排序并不唯一

算法设计
（1）求出各顶点的入度，存入输出in[]中，并将入度为0的顶点入栈S。
（2）如果栈不为空，则重复执行以下操作：
①栈顶元素i出栈，并保存到拓扑序列数组topo[]中；
②顶点i的所有邻接点入度减1，如果减1后入度为0，则入栈。
（3）如果输出的顶点数小于AOV网的顶点数，则说明图中有环，否则输出拓扑序列。

代码如下：

#include
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,m;
struct edge{
    int to,next,w;
}e[N];
int head[N],in[N],topo[N],cnt;
stack<int>s;
inline void add(int u,int v){
    e[cnt].to=v,e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt++;
}
inline bool topsort(){
    int k=0;
    for(int i=0;i<n;++i)
        if(!in[i])s.push(i);
    while(!s.empty()){
        int u=s.top();s.pop();
        topo[k++]=u;
        for(int i=head[u];~i;i=e[i].next){
            int v=e[i].to;
            if(--in[v]==0)s.push(v);
        }
    }
    if(k<n)return false;
    return true;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    memset(head,-1,sizeof(head));memset(in,0,sizeof(in));
    for(int i=0;i<m;++i){
        int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);in[v]++;
    }
    if(!topsort())cout<<"该有向图有回路"<<endl;
    else{
        for(int i=0;i<n-1;++i)printf("%d ",topo[i]);
        cout<<topo[n-1]<<endl;
    }
}

例题：

题目描述
设G为有n个顶点的带权有向无环图，G中各顶点的编号为1到n，请设计算法，计算图G中1到n之间的最长路径。

输入格式
输入的第一行有两个整数，分别代表图的点数n和边数m。

第2到第(m+1) 行，每行 33 个整数 u, v, w（u

输出格式
输出一行一个整数，代表1到n的最长路。

若1与n不连通，请输出-1。

输入样例
2 1
1 2 1

输出样例
1

数据规模
1<=n<=1500，1<=m<=5×10^4，1<=u,v<=n，-10^5<=w<=10^5

分析

其实这道题用bellman_ford或者SPFA就能解答，当然也可以用拓扑排序来做，但是有一个细节需要注意：
题目要求1到n的最大值，但是对一个有向无环图来说，入度为0的点可不只是1这个点，那么我们不可能不处理他，如果不处理他，这些点的邻接点的入度永远不可能减为0，那样就无法处理了。但是直接入栈结果很可能不对！很可能就不是以1为起点的路径了。
处理方法是：把所有除了1之外的入度为0的点先入栈，然后做一系列出栈操作，把所有入度为0的点的邻接点的入度减1，相当于直接把除了1之外的入度为0的点全部处理了，这并不会影响最终结果，只是单纯避免了处理其他点。当然了，处理完这些点以后，这些点的邻接点入度减去1以后很可能造成其他的出现入度为0的情况，依旧要进行处理，那我们就用循环框住就好了。

代码如下：

#include
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int N=1e5;
int n,m;
struct edge{
    int to,next,w;
}e[N];
int head[N],in[N],topo[N],cnt;
int dis[N];
stack<int>s;
inline void add(int u,int v,int w){
    e[cnt].to=v,e[cnt].next=head[u],e[cnt].w=w;
    head[u]=cnt++;
}
inline void topsort(){
    int k=0;
    //废弃掉其它入度为0的点
    for(int i=2;i<=n;++i){
        dis[i]=-INF;
        if(!in[i])s.push(i);
    }
    while(!s.empty()){
        int x=s.top();s.pop();
        for(int i=head[x];~i;i=e[i].next)
            if(!(--in[e[i].to]))s.push(e[i].to);
    }
    s.push(1);
    while(!s.empty()){
        int u=s.top();s.pop();
        topo[k++]=u;
        for(int i=head[u];~i;i=e[i].next){
            int v=e[i].to;
            dis[v]=max(dis[v],dis[u]+e[i].w);
            if(!(--in[v]))s.push(v);
        }
    }
    if(dis[n]!=-INF)cout<<dis[n]<<endl;
    else cout<<-1<<endl;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    memset(head,-1,sizeof(head));memset(in,0,sizeof(in));
    for(int i=0;i<m;++i){
        int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,w);in[v]++;
    }
    topsort();
}