素数筛法总结

素数筛法

一、定义

素数指质数，指在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数；

二、唯一分解定理

唯一分解定理又称为算术基本定理，可描述为,

任何一个大于 1 的自然数 $N$ ，如果 $N$ 不为质数，那么 $N$ 可以唯一分解成有限个质数的乘积，

$$N=p_1^{a_1}\ast p_2^{a_2}\ast p_3^{a_3}......p_n^{a_n}$$

这里 $p_1<p_2<p_3<...<p_n$ 均为质数，其中指数 $a_i$ 为正整数，这样的分解称为 $N$ 的标准分解式；

三、埃氏筛法

1. 说明

素数筛法，是一种快速筛出 $2\sim n$ 中之间所有素数的方法。朴素的筛法叫做埃氏筛 (The Sieve of Eratosthenes，埃拉托色尼筛) ；

其核心思想为，遍历到质数时，将其的倍数筛掉；

2. 过程

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16

从前向后看，找到第一个未被划掉的数为 2，为质数，把 2 的倍数 (不包括 2 ) 删除，即删除 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16;

2	3		5		7		9		11		13		15

下一个未被划掉的数是 3，为质数，把 3 的倍数相除，即删除 6, 9, 12, 15 (注意 6 和 12 虽然为 3 的倍数，但是它是被 2 筛除的) ；

2	3		5		7				11		13

下一个未被划掉的数是 5，但是 5 已经超过 $\sqrt{16}$ 了，所以遍历结束，剩下未被划掉的数都是素数：

2	3		5		7				11		13

3. 关键代码

bool f[MAXN];//f用来标记i是否为素数，0为素数，1为合数；
void prime(int n) {
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (!f[i]) {
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                f[j] = 1;
            }
        }
    }
}

4. 问题

埃氏筛法在筛数时会筛到同一个数；

四、欧拉筛法

1. 说明

欧拉筛，也叫线性筛，可以在 $O(n)$ 时间内完成对 $2\sim n$ 的筛选；

其核心思想为，让每一个合数被其最小质因数筛到；

2. 过程

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16

质数表如下，

从头到尾遍历，第一个数是 2 ，未被划掉，把它放进质数表；

然后用 2 去乘质数表里的每一个数并删除，这里只删除 4 ；

2	3		5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16

质数表如下，

2

下一个是 3，加入质数表划掉 6，9 ；

2	3		5		7	8		10	11	12	13	14	15	16

质数表如下，

2	3

下一个数是 4 (删除的也要遍历，只是不加入质数表)，先删除 8，但不删除 12，因为 $12=2\ast 6$ 应该由它的最小质因数 2 筛掉，而不是 3 ；

2	3		5		7			10	11	12	13	14	15	16

质数表如下，

2	3

实际上，对于 $x$ ，遍历到质数表中的 $P$ ，且发现 $p|x$ 时，就应当停止遍历质数表；

证明如下，

设 $x=p\ast r(r\ge p)$ ，$p$ 本身是 $x$ 的最小质因数，则对于 $\forall p^{\prime }>p$ ，有 $p^{\prime }x=p{p}^{\prime }r=(p{p}^{\prime })r$ ，则说明 $p^{\prime }x$ 的最小质因数不是 $p^{\prime }$ ，而是 $p$ 所以不应该在此删除它；

下一个是 5，加入质数表，删除 10，15 ；

2	3		5		7				11		13	14		16

质数表如下，

2	3	5

3. 关键代码

int prime[MAXN];//用来存放质数表
bool f[MAXN];//f用来标记i是否为素数，0为素数，1为合数；
void Prime(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!f[i]) {
			prime[++cnt] = i;
		}
		for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
			f[i * prime[j]] = 1;
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}