【算法思想】贪心

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一.介绍

1.什么是贪心算法?

贪心算法（Greedy Algorithm）是一种常见的问题求解策略，通常用于优化问题。贪心算法的核心思想是在每一步都做出当前看起来最优的选择，而不考虑全局最优解。贪心算法通常适用于那些具有贪心选择性质的问题，即局部最优解也是全局最优解的一部分。

称之为贪心算法或贪婪算法，核心思想是

1. 将寻找最优解的问题分为若干个步骤
2. 每一步骤都采用贪心原则，选取当前最优解
3. 因为没有考虑所有可能，局部最优的堆叠不一定让最终解最优

2.步骤

贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优(即最有利)的选择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。这种算法通常用于求解优化问题，如最小生成树、背包问题等。

以下是贪心算法的一般特点和步骤：

1. 选择策略：从问题的所有可行选择中，选择当前看起来最优的一个。这个选择通常基于一定的规则或者评估函数。

2. 可行性检验：检查所做的选择是否合法，即是否满足问题的约束条件。

3. 局部最优性：贪心算法只关注当前步骤的最优解，而不考虑整体问题的最优解。这是贪心算法与动态规划等其他算法的主要不同之处。

4. 迭代：重复执行步骤 1 和步骤 2，直到达到问题的结束条件或者找到一个近似的解。

3.应用

贪心算法的应用范围广泛，可以用于解决许多优化问题，如：

• 最小生成树问题：如 Kruskal 算法和 Prim 算法用于构建最小生成树。
• 最短路径问题：如 Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法用于寻找最短路径。
• 调度问题：如任务调度、会议安排等。
• 背包问题：给定一组物品和一个背包，每个物品有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的情况下，尽可能多地装入物品。
• 活动选择问题：在一个活动集合中，每次只能参加一个活动，问如何安排时间以最大化所有活动的收益。
• 编辑距离问题：给定两个字符串，求它们之间的最小编辑距离(即将一个字符串转换为另一个字符串所需的最少操作次数)。
• 网络流问题：给定一张有向图和一些起点和终点，求最大流量。
• 找零问题：给定一定数量的硬币和需要找零的金额，求使用最少的硬币数。

贪心算法的优点在于它们通常比其他复杂算法更快，因为它们不需要考虑所有可能的解决方案。然而，贪心算法的局限性在于它们不能保证一定找到全局最优解，因此在某些情况下可能会得到次优解或者不可行解。因此，在使用贪心算法时，需要仔细分析问题的特性，以确定它是否适合使用贪心策略。有时候，贪心算法可以与其他算法结合使用，以获得更好的结果。

2.贪心模版

下面是一个使用 Java 编写的通用贪心算法模板，你可以根据具体问题进行适当的修改和扩展：

import java.util.Arrays;

public class GreedyAlgorithm {

    public static void main(String[] args) {
        // 在这里输入问题的输入数据
        // 例如，如果是一个数组或者列表，可以这样初始化：
        int[] inputArray = {5, 2, 1, 9, 3};

        // 调用贪心算法函数
        int result = greedyAlgorithm(inputArray);

        // 输出结果
        System.out.println("最终结果: " + result);
    }

    public static int greedyAlgorithm(int[] input) {
        // 在这里实现贪心算法的逻辑
        // 请根据问题的具体要求编写贪心策略

        // 以下是一个简单的示例：找到数组中的最小元素
        int minElement = input[0];
        for (int i = 1; i < input.length; i++) {
            if (input[i] < minElement) {
                minElement = input[i];
            }
        }

        return minElement;
    }
}

这个模板中，你可以将问题特定的输入数据放在main函数中，然后调用greedyAlgorithm函数来执行贪心算法。在greedyAlgorithm函数中，你需要根据问题的特性编写相应的贪心策略。

请注意，这只是一个基本的模板，实际上，贪心算法的实现会根据具体问题的不同而有所不同。你需要根据问题的需求来设计合适的贪心策略，并根据具体情况修改模板。

二.贪心的例子

1.Dijkstra

// ...
while (!list.isEmpty()) {
    // 选取当前【距离最小】的顶点
    Vertex curr = chooseMinDistVertex(list);
    // 更新当前顶点邻居距离
    updateNeighboursDist(curr);
    // 移除当前顶点
    list.remove(curr);
    // 标记当前顶点已经处理过
    curr.visited = true;
}

• 没找到最短路径的例子：负边存在时，可能得不到正确解
• 问题出在贪心的原则会认为本次已经找到了该顶点的最短路径，下次不会再处理它（curr.visited = true）
• 与之对比，Bellman-Ford 并没有考虑局部距离最小的顶点，而是每次都处理所有边，所以不会出错，当然效率不如 Dijkstra

2.Prim

// ...
while (!list.isEmpty()) {
    // 选取当前【距离最小】的顶点
    Vertex curr = chooseMinDistVertex(list);
    // 更新当前顶点邻居距离
    updateNeighboursDist(curr);
    // 移除当前顶点
    list.remove(curr);
    // 标记当前顶点已经处理过
    curr.visited = true;
}

3.Kruskal

// ...
while (list.size() < size - 1) {
    // 选取当前【距离最短】的边
    Edge poll = queue.poll();
    // 判断两个集合是否相交
    int i = set.find(poll.start);
    int j = set.find(poll.end);
    if (i != j) { // 未相交
        list.add(poll);
        set.union(i, j); // 相交
    }
}

4.其它贪心的例子

• 选择排序、堆排序

• 拓扑排序

• 并查集合中的 union by size 和 union by height

• 哈夫曼编码

• 钱币找零，英文搜索关键字

  • change-making problem
  • find Minimum number of Coins

• 任务编排

• 求复杂问题的近似解

5.常见问题及解答

1. 贪心算法一定会找到最优解吗？
   答：不一定。贪心算法只保证在每一步选择中都是最优的，但并不能保证整个问题的最优解。例如，背包问题中的贪心算法可能会导致最后一个物品没有被装入背包。
2. 如何判断一个问题是否适合用贪心算法解决？
   答：一个问题如果可以用递归的方式分解成若干个子问题，且每个子问题都有明确的最优解(即局部最优),那么这个问题就可以用贪心算法解决。
3. 贪心算法的时间复杂度是多少？
   答：贪心算法的时间复杂度取决于问题的规模和具体实现。一般来说，对于规模较小的问题，贪心算法的时间复杂度可以达到 O(nlogn)或 O(n^2);对于规模较大的问题，可能需要 O(n^3)或更高。

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