线性代数笔记：左/右乘列/行满秩，秩不变

左/右乘列/行满秩，秩不变

• 如何理解 左乘列满秩，右乘行满秩，秩不变 ？

几何解释

• 假如有线性方程组，$AB=C$，矩阵 $A$ 列满秩

• 矩阵 $A$ 的列向量就可以构成这个 $n$ 维空间的一组基

  • 为什么？

  • [ i ⃗   ,   j ⃗   ,   k ⃗ ] ⋅ [ a b c ] = a ⋅ i ⃗ + b ⋅ j ⃗ + c ⋅ k ⃗ = v ⃗ \displaystyle{ \left[\begin{array}{lll} \vec{i} \ ,\ \vec{j} \ ,\ \vec{k} \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{lll} a \\ b \\ c \end{array}\right]= a\cdot\vec{i}+b\cdot\vec{j}+c\cdot\vec{k}=\vec{v} } [i  , j ​ , k ​]⋅ ​abc​ ​=a⋅i +b⋅j ​+c⋅k =v .

  • 将它代入到三维空间里理解，矩阵 $A$ 其实就是 $i,j,k$ .

  • 这个角度的线性方程组，向量 $C$ 其实表示的是，在以矩阵 $A$ 的列向量构成的基下的向量 $B$ .

• 矩阵 $A$ 的列向量作为基底的例子

  • [ i ⃗   ,   j ⃗   ,   k ⃗ ] ⋅ [ 1 2 3 ] = 1 ⋅ i ⃗ + 2 ⋅ j ⃗ + 3 ⋅ k ⃗ = ( 1 , 2 , 3 ) \displaystyle{ \left[\begin{array}{lll} \vec{i} \ ,\ \vec{j} \ ,\ \vec{k} \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{lll} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right]= 1\cdot\vec{i}+2\cdot\vec{j}+3\cdot\vec{k}=(1,2,3) } [i  , j ​ , k ​]⋅ ​123​ ​=1⋅i +2⋅j ​+3⋅k =(1,2,3) .
  • $i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)$ .
  • 比如这个东西，$(1,2,3)$ 其实就是 $C$，它表示的是 $B$ 这个向量在三维空间标准正交基下的一个向量

• 有了以上的结论之后，那么如果 $A$ 可以构成一组基，$B$ 就可以被完整的在这个空间中表示，

  $B$ 的信息不会增加也不会缺损（前提是 $A$ 是列满秩的，只有 $A$ 列满秩才能构成全体空间的一组基）

• 这意味着，经过 $A$ 表示的 $B$，秩不会发生改变，即矩阵左乘列满秩，被乘矩阵的秩不变。

• $B$ 本来是直线，被基表示后还是直线，本来是点，被表示后还是点

  （当然前提还是 $A$ 必须能构成全体空间的基底）

• 行满秩做一个转置，然后同理可得就行

  • 假设 $N$ 行满秩，则 $N^T$ 列满秩
  • $MN=D\Rightarrow (MN{)}^T=C^T\Rightarrow N^T{M}^T=D^T$ .
  • 记 $N^T=A$，$M^T=B$，$D^T=C$ .
  • $N^T{M}^T=D^T\Rightarrow AB=C$ . 同理可得.