高中奥数 2021-12-28

2021-12-28-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚第一数学归纳法 P004 例4）

设,是大于的正整数.证明:

证明

当时,(1)式左右两边相等,故时命题成立.

假设命题对成立,则

$\begin{aligned} &\left(\dfrac{1}{\sin ^{n+1} \theta}-1\right)\left(\dfrac{1}{\cos ^{n+1} \theta}-1\right) \\ =& \dfrac{1}{\sin ^{n+1} \theta \cos ^{n+1} \theta}\left(1-\sin ^{n+1} \theta\right)\left(1-\cos ^{n+1} \theta\right) \\ =& \dfrac{1}{\sin ^{n+1} \theta \cos ^{n+1} \theta}\left(1-\sin ^{n+1} \theta-\cos ^{n+1} \theta\right)+1 \\ =& \dfrac{1}{\sin \theta \cos \theta}\left(\dfrac{1}{\sin ^{n} \theta \cos ^{n} \theta}-\dfrac{\cos \theta}{\sin ^{n} \theta}-\dfrac{\sin \theta}{\cos ^{n} \theta}\right)+1 \\ =& \dfrac{1}{\sin \theta \cos \theta}\left[\left(\dfrac{1}{\sin ^{n} \theta}-1\right)\left(\dfrac{1}{\cos ^{n} \theta}-1\right)+\dfrac{1-\cos \theta}{\sin ^{n} \theta}+\dfrac{1-\sin \theta}{\cos ^{n} \theta}-1\right]+1 \\ \geqslant & \dfrac{1}{\sin \theta \cos \theta}\left[\left(2^{n}-2^{\frac{n}{2}+1}\right)+2 \sqrt{\dfrac{(1-\cos \theta)(1-\sin \theta)}{\sin ^{n} \theta \cos ^{n} \theta}}\right]+1,\qquad\qquad\qquad(2) \end{aligned}$

这里(2)由归纳假设和均值不等式得到.

注意到$\sin \theta\cos \theta=\dfrac{1}{2}\sin 2\theta\leqslant \dfrac{1}{2}$,而

$$\dfrac{\left(1-\cos\theta\right)\left(1-\sin\theta\right)}{\sin^{n}\theta\cos^{n}\theta}=\left(\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}\right)^{n-2}\cdot\dfrac{1}{\left(1+\sin\theta\right)\left(1+\cos\theta\right)},$$

其中

$\begin{aligned} &\left(1+\sin \theta\right)\left(1+\cos \theta\right)\\ =&1+\sin \theta+\cos \theta+\sin \theta\cos \theta\\ =&1+t+\dfrac{t^{2}-1}{2}\\ =&\dfrac{1}{2}\left(t+1\right)^{2}\\ \leqslant& \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2}+1\right)^{2} \end{aligned}$

(这里用到).

所以.

从而,由(2)可得

$\begin{aligned} &\left(\dfrac{1}{\sin ^{n+1} \theta}-1\right)\left(\dfrac{1}{\cos ^{n+1} \theta}-1\right) \\ \geqslant &2\left[\left(2^{n}-2^{\frac{n}{2}+1}\right)+2\left(2^{\frac{n}{2}}-2^{\frac{n-1}{2}}\right)\right]+1 \\ =& 2\left(2^{n}-2^{\frac{n+1}{2}}\right)+1\\ =&2^{n+1}-2^{\frac{n+1}{2}+1}+1 . \end{aligned}$

即命题对成立综上所述,命题对一切成立.

说明

上面的几个例子涉及多方面的知识内容,覆盖代数、数论、组合等多个分支,表现了数学归纳法应用的广泛性.

2021-12-28-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚第一数学归纳法 P005 例5）

数列定义如下:

证明:该数列中有无穷多项是7的倍数.

证明

直接由递推式计算,可得.

现设是7的倍数,我们寻找下标,使得.

由,知,,故.

记除以7所得余数为.如果,那么取即可;如果,考虑下面的7个数:

注意到

因此,构成模7的一个完全剩余系.

故存在,使得.

这样,我们从出发结合上面的推导可知,中有无穷多项是7的倍数.

2021-12-28-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚第一数学归纳法 P005 例6）

(1)证明:对任意正整数,存在个不同的正整数,使得对任意,都有.

(2)是否存在一个由正整数组成的无穷集,使得对任意,都有?

证明

(1)当时,取数1,2即可设命题对成立,即存在正整数,满足:对任意,都有,现在考虑下面的个数:

这里,其中.

从(1)中任取两个数,若,,,则,而,结合,知,故;若,,,则,,由归纳假设,又,故,所以.从而,命题对成立.

综上所述,对任意,,存在满足条件的个正整数.

(2)若存在无穷多个正整数 ,使得对任意,都有,则对任意,有,故.

而由 ,知可以被无穷多个正整数整除,这是一个矛盾.

所以,不存在满足条件的无穷多个正整数.

说明

数学归纳法证明的是:对任意,成立,也就是说它处理的是关于任意有限的正整数的命题,并不能断定成立,这里部分地体现了有限与无穷的本质区别.从此例中(1)与(2)的对比可看出这点当然,用数学归纳法处理存在性问题也能处理与无穷有关的一些结论,例如例5的处理.对比例5与例6中的递推结构的构造,可发现两者有本质不同,前者把前面的结果“包容下来”,而后者却把前面的数都“扬弃”了.

高中奥数 2021-12-28

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