【算法题】螺旋矩阵IV (求解n阶折线蛇形矩阵)

一、问题的提出

n阶折线蛇形矩阵的特点是按照图1所示的方式排列元素。n阶蛇形矩阵是指矩阵的大小为n×n，其中n为正整数。

题目背景

一个 n 行 n 列的螺旋矩阵可由如图1所示的方法生成，观察图片，找出填数规律。填数规则为从 1 开始填到 n×n。

 图1 8行8列的螺旋矩阵

现在给出矩阵大小 n 以及 i 和 j，请你求出该矩阵中第 i 行第 j 列的数是多少。

题目描述

无

输入格式

从标准输入读入数据。 共一行，包含三个整数 n（1≤n≤1,000）、i（1≤i≤n）、j（1≤j≤n），每两个整数之间用一个空格隔开，分别表示矩阵大小、待求的数所在的行号和列号。

输出格式

输出到标准输出。一个整数，表示相应矩阵中第 i 行第 j 列的数。

输入输出样例

输入 #1复制

8 2 8

输出 #1复制

51

说明/提示

子任务

对于 30% 的测试数据，n≤10；对于 60% 的测试数据，n≤100；对于 100% 的测试数据，n≤1,000；特别地，对于 20% 的测试数据，i=j=1。

二、解题的思路

由图2可知，这是个水平、垂直转弯的蛇形矩阵。仔细看图2发现：当在第1行(行号为0)时则向右(行号不变，列号加1)填数，然后向下，当行列值相等转向左侧，如是列号到0时则向下(行号加1)，然后向右方填数，如行列值相等则转向上，如是行号到0时则向右(行号不变，列号加1)，然后向下，如此重复直到最后行的0列，或最后列的0行为止。

 图2 蛇形矩阵分析图

三、矩阵生成算法

n行n列，第一行为0行，第一列为0列。从(0, 0)由1开始，方向设为向上。

当向上时，如行号已为0则列号加1、方向向反(向下)，否则行号减1，如列号为n-1且行号为0时结束填写。

当向下时，如列号==行号则转弯(向左)，否则行号加1。

当向左时，如列号已为0则行号加1、方向向反(向右)，否则列号减1，如行号为n-1且列号为0时结束填写。

当向右时，如行号==列号则转弯(向上)，否则列号加1。

程序代码如下：

def prt(hm):                 # 打印二维列表
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            print("%3d" % hm[i][j], end='')
        print()
 
def Helix_MatrixII(n):
    cnt = 1
    i = j = 0
    k = 1
    while True:
        matrix[i][j] = cnt
        if (i == 0 and j >= n-1 and k == 1) or (i >= n-1 and j == 0 and k == 3):
            break            # 向上填写时，最后1列并到0行 或 向左填写时，最后1行并到0列
        if k == 0:           # 向右填写
            j +=1
            if i == j:       # 转向向上
                k = 1
        elif k == 1:         # 向上填写
            if i == 0:       # 到0时，转下一列调头
                j += 1
                k = 2
            else:
                i -=1
        elif k == 2:         # 向下填写
            i +=1
            if i == j:       # 转向向左
                k = 3
        elif k == 3:         # 向左填写
            if j == 0:       # 到0时，转下一行调头
                i += 1
                k = 0
            else:
                j -=1
        cnt += 1
           
N = 6
matrix = []                  # 初始化二维矩阵matrix(二维列表)
for i in range(N):
    matrix.append([])
    for j in range(N):
        matrix[i].append(0)
Helix_MatrixII(N)
prt(matrix)

执行结果：

四、题目求解算法

题目要求输入矩阵规模n和坐标(i, j)三个参数，求出矩阵(i, j)处的元素值。所以先按n求出矩阵，现按坐标输出元素值。

程序代码如下：

def Helix_MatrixII(n):
    cnt = 1
    i = j = 0
    k = 1
    while True:
        matrix[i][j] = cnt
        if (i == 0 and j >= n-1 and k == 1) or (i >= n-1 and j == 0 and k == 3):
            break          # 向上并最后1列到第0行 或 向左并最后1行到第0列
        if k == 0:         # 向右填写
            j +=1
            if i == j:     # 转向向上
                k = 1
        elif k == 1:       # 向上填写
            if i == 0:     # 向上到0行，列号加1并转向下
                j += 1
                k = 2
            else:
                i -=1
        elif k == 2:       # 向下填写
            i +=1
            if i == j:     # 转向向左
                k = 3
        elif k == 3:       # 向左填写
            if j == 0:     # 向左到0列，行号加1并转向右
                i += 1
                k = 0
            else:
                j -=1
        cnt += 1
           
N, x, y = map(int, input().split())
matrix = []                # 初始化二维矩阵matrix(二维列表)
for i in range(N):
    matrix.append([])
    for j in range(N):
        matrix[i].append(0)
Helix_MatrixII(N)
print(matrix[x-1][y-1])

执行结果：