随机算法

概述

特点

1. 不要求算法对所有可能的输入均正确计算
2. 只要求出现错误的可能性小到可以忽略的程度
3. 不要求对同一输入，算法每次执行时给出相同的结果
   很快获得相当可信的结果

应用

分布式计算、通信、信息检索、计算几何、密码学
公开密钥体系、RSA算法

优点

1. 对于某一给定的问题，随机算法所需的时间与空间复杂性，往往比当前已知的、最好的确定性算法要好
2. 理解和实现上都简单
3. 避免去构造最坏情况的例子

算法

Las Vegas算法

1. 出现求不出解的情况，但一旦找到，这个解一定正确
2. 在求不出解时，需再次调用算法进行计算，直到获得解为止
3. 对于此类算法，主要是分析算法的时间复杂度的期望值，以及调用一次产生失败（求不出解）的概率

Monte Carlo算法

1. 通常不能保证计算出来的结果总是正确的，一般只能断定所给解的正确性不小于p （ 1/2＜p＜1）
2. 算法的反复执行能够使发生错误的概率小到可以忽略的程度
3. 由于每次执行的算法是独立的，故k次执行均发生错误的概率为(1-p)^k
4. 对于判定问题（回答只能是“Yes”或“No”）：带双错（回答”Yes”或”No”都有可能错）、带单错（只有一种回答可能错）
   Las Vegas算法可以看成是单错概率为0的Monte Carlo算法
   在不允许发生错误的应用中，Monte Carlo算法不可以使用。若小概率的出错允许的话，Monte Carlo算法比Las Vegas算法要节省许多时间

典型例题

找第k小元素的随机算法

在n个数中随机的找一个数A[i]=x, 然后将其余n-1个数与x比较，分别放入三个数组中：S1(元素均

定理：若以等概率方法在n个数中随机取数，则该算法用到的比较数的期望值不超过4n

Sherwood随机化方法(Las Vegas)

如果某个问题已经有了一个平均情况下较好的确定性算法，但是该算法在最坏情况下效率不高，此时引入一个随机数发生器
如果算法（所给的确定性算法）无法直接使用Sherwood方法，则可以采用随机预处理的方法，使得输入对象服从均匀分布

Testing String Equality(（Monte Carlo算法)

设A处有一个长字符串x（e.g. 长度为106），B处也有一个长字符串y，A将x发给B，由B判断是否有x=y

由A发一个x的长度给B，若长度不等，则x≠y
长度相等，则采用“取指纹”的方法：
1.A对x进行处理，取出x的“指纹”，然后将x的“指纹” 发给B
2.由B检查x的“指纹”是否等于y 的“指纹”
3.若取k次“指纹”（每次取法不同），每次两者结果均相同，则认为x与y是相等的
4.随着k的增大，误判率可趋于0

令I(x)是x的编码，取Ip(x) ≡ I(x) (mod p)作 为x的指纹，p是一个小于M的素数，M可根据具体需要调整

错判率分析

Ip(x)=Ip(y)而x≠y，则称此种情况为一个误匹配
Pr[failure] = （使得误匹配的p的个数）／（小于M的素数的总个数）
k次试验误匹配的概率小于 1/n^(k),当n较大、且重复了k次试验时，误匹配的概率趋于0

Pattern Matching(Monte Carlo)

给定两个字符串：X=,…,，Y=,…,， 看Y是否为X的子串？

X(j)=x(j)x(j＋1)…x(j+m-1) 从X的第j位开始、长度与Y一样的子串
从j=1开始到j=n-m+1，逐一比较Ip（X(j)）与Ip（Y）
1.随机取一个小于M的素数p，j=1
2.计算Ip(Y)、Ip(X(1))及Wp(=2m mod p)
3.While (j≤n-m+1) {
    if(Ip(X(j))=Ip(Y))
        return j;
    else{
        根据Ip(X(j))计算出Ip(X(j+1);
        j++;
    }
  }
  return 0;

错判率分析

当Y≠X(j)，但Ip(Y)=Ip(X(j))时产生失败
率Pr[failure]<1/n，即失败的概率只与X的长度有关，与Y的长度无关

备注

当Ip(Y)=Ip(X(j))时，不直接return j，而去比较Y和X(j)，转成Las Vegas算法

Random Sampling问题(Las Vegas)

设给定n个元素(为1，2，…n),要求从n个数中随机地选取m个数（m≤n）

长为n的布尔数组B来标识i是否被选中,初始时均为false
随机产生〔1，n〕之间的一个整数i，若B[i]==false，则将i加入被选中队列，B[i]=true
反复执行直到m个不同的数全部被选出为止

改进

• 当n和m很接近时，产生最后几个随机数的时间可能很长
  当m>n/2时，先去生成(n-m)(
• 当n与m相比大很多时（例：n﹥m2），布尔数组B对空间浪费很多
  用一个允许冲突的、长为m的散列表，来存放产生的随机数

分析

：在j-1个数已经选出的前提下，当前随机产生的数是以前尚未选过的数的概率
=(n-j+1)/n
:前随机产生的数是以前选过的j-1个数之一的概率
=1- p(j)=(j-1)/n
随机变量Xj:在j-1个数已经选出后，再去找出第j个不同的数时，所需要产生的整数个数
服从几何分布，E()=1/
Y表示从n个数中选出m个数时（m≤ n/2），所需产生的整数个数的总和的随机变量（目标）
Y=＋＋＋…＋
E(Y)≤1.69n
T(n)正比于算法产生整数的个数总和Y

主元素问题(Monte Carlo)

设T[1:n]是一个含有n个元素的数组。当|{i|T[i]=x}|>n/2时，称元素x是数组T的主元素

public static boolean majority(int[]t, int n){
    rnd = new Random();
    int i=rnd.random(n)+1;
    int x=t[i]; // 随机选择数组元素
    int k=0;
    for (int j=1;j<=n;j++){
        if (t[j]==x) k++;
            return (k>n/2); // k>n/2 时t含有主元素
    }
}
public static boolean majorityMC(int[]t, int n, double e){
    int k= (int) Math.ceil(Math.log(1/e)/Math.log(2));
    //重复多次调用算法majority,计算时间和调用的次数相关
    for (int i=1;i<=k;i++){
        if (majority(t,n)) return true;
    }
    return false;
}

素数测试问题

判断一个数是否为素数

费尔马（ Fermat ）小定理
若n为素数，且0
逆定理不成立，但反例不多，特别是当n很大且又是随机选取的时候

二次探测定理
如果p是一个素数，且0