高中奥数 2022-03-14

2022-03-14-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P047 例06）

已知,.求证:

(2007年中国女子数学奥林匹克)

证法1

不妨设.令,,则

原式左边
.
最后一步由柯西不等式得到.

证法2

令,,,则,于是待证不等式变为

注意到
$\begin{aligned} u^{2}+\dfrac{\left(v^{2}-w^{2}\right)^{2}}{4} &=1-\left(v^{2}+w^{2}\right)+\dfrac{\left(v^{2}-w^{2}\right)^{2}}{4}=\dfrac{4-4\left(v^{2}+w^{2}\right)+\left(v^{2}-w^{2}\right)^{2}}{4} \\ &=\dfrac{4-4\left(v^{2}+w^{2}\right)+\left(v^{2}+w^{2}\right)^{2}-4 v^{2} w^{2}}{4} \\ &=\dfrac{\left(2-v^{2}-w^{2}\right)^{2}-4 v^{2} w^{2}}{4} \\ &=\dfrac{\left(2-v^{2}-w^{2}-2 v w\right)\left(2-v^{2}-w^{2}+2 v w\right)}{4} \\ &=\dfrac{\left[2-(v+w)^{2}\right]\left[2-(v-w)^{2}\right]}{4} \leqslant 1-\dfrac{(v+w)^{2}}{2} . \end{aligned}$
(注意)将上式代入,得

令,将上述不等式改写为,以下同证法1.

说明证法2解释了证法1中替换的动机.

2022-03-14-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P048 例07）

设,且,求证:

(1);

(2).

证明

(1)证法1设,,,,则原不等式等价于

利用Cauchy不等式,得

即有成立.

证法2首先我们证明

等价于.

又由于,故成立.

同理,有

将相加即得原不等式成立.

(2)令,,,.那么,由题设得.利用,有
$\begin{aligned} \dfrac{1}{1+a+b} &=\dfrac{1}{1+x^{3}+y^{3}} \\ &\leqslant \dfrac{1}{1+x^{2} y+x y^{2}} \\ &=\dfrac{1}{x y z+x^{2} y+y^{2} x}\\ &=\dfrac{1}{x y(x+y+z)} \\ &=\dfrac{z}{x+y+z} \end{aligned}$
同理,有

三式相加即得原不等式成立.

说明当三数的乘积为1时,本题的两种代换方法都是常用的.

2022-03-14-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P050 例08）

设,且,求证:

证明

令,,,则.

原不等式等价于

即,

即,

即.

又不难证明.

故原不等式成立.

2022-03-14-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P050 例09）

设,求证:

分析左端式子分母是变量和的形式,难以直接处理,故先将它们代换掉,简化分母.

证明

令,,,原不等式等价于

即.

故只须证明

这是很显然的.

2022-03-14-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P050 例10）

设、、是正数,求证:

证明

不妨设.

令,,则.于是
$\begin{aligned} & x_{1} x_{2} x_{3}-\left(x_{2}+x_{3}-x_{1}\right)\left(x_{1}+x_{3}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}-x_{3}\right) \\ =&\left(x_{3}+\delta_{1}\right)\left(x_{3}+\delta_{2}\right) x_{3}-\left(x_{3}+\delta_{2}-\delta_{1}\right)\left(x_{3}+\delta_{1}-\delta_{2}\right)\left(x_{3}+\delta_{1}+\delta_{2}\right) \\ =&\left(x_{3}^{2}+\delta_{1} x_{3}+\delta_{2} x_{3}+\delta_{1} \delta_{2}\right) x_{3}-\left[x_{3}^{2}-\left(\delta_{1}-\delta_{2}\right)^{2}\right]\left(x_{3}+\delta_{1}+\delta_{2}\right) \\ =& x_{3} \delta_{1} \delta_{2}+x_{3}^{2}\left(x_{3}+\delta_{1}+\delta_{2}\right)-\left[x_{3}^{2}-\left(\delta_{1}-\delta_{2}\right)^{2}\right]\left(x_{3}+\delta_{1}+\delta_{2}\right) \\ =& x_{3} \delta_{1} \delta_{2}+\left(\delta_{1}-\delta_{2}\right)^{2}\left(x_{3}+\delta_{1}+\delta_{2}\right) \\ \geqslant & 0 \end{aligned}$
所以

说明本题用的代换方法称为“增量代换法”.

高中奥数 2022-03-14

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