线性代数 1
第一课 方程组的几何解释
置换矩阵[一个m*n(m<=n)的(0,1)矩阵P为置换矩阵的充要条件是P的每一行恰有一个1，每一列恰有一个1，其余系数均为0]
[注意区别置换矩阵和转置矩阵，两者关系：置换矩阵的逆等于其转置，即
=
]
{置换矩阵是单位矩阵的延伸版，是单位矩阵进行初等变换(行交换和列交换)后得到的矩阵,其必然为正交矩阵[若A
=E或A=E,则称n阶实矩阵为正交矩阵(其中表示A的转置矩阵，E为单位矩阵)]}
[通过单位矩阵(使用行变换或列变换)找置换矩阵更容易]
一.“左行右列”
1。交换
,
(行交换~左乘）
P(置换矩阵）P中[0 1]表示0个,1个,即得到[c d]
2。交换
,
(列交换~右乘)
P(置换矩阵）P中[0 1]表示0个,1个，即得到[b d]
第二课 矩阵消元
二.关于运算
1。消元(消元，为了正确认识矩阵的概念）
（每个台阶的第一个元素称为主元)
[0不能做主元，若0占据主元位置，0下面有非0元素，则可进行行交换(暂时性失效)]
2。a.结合律成立(即括号可以移动)，交换律不成立(即乘法顺序不能改变),因而除非两者可以交换，否则不满足完全平方公式和平方差公式
b.减多少就加多少回来
3。矩阵内部元素表示含义
A I(单位阵,也可用E表示,并无差别)
中
表示A的各乘以1分别得到I中的，中表示A的3+得到I中的
第三课 乘法和逆矩阵
三.矩阵乘法(矩阵相乘不一定要是方阵，若是方阵，则大小必须相同；若不是方阵，则大小不同，但须满足特定格式：
)
AB=C
1。常规方法(求和公式） 
2。列方法(将B看作p个单独的列向量，C中各列是A中各列的线性组合~A*向量，B中的元素相当于表明这是怎样的线性组合）
3。行方法(与列方法相似，注意左行右列即可）
4。列*行
(行空间即行所有可能的线性组合）
5。分块矩阵(分块乘法法则）
四.逆
(对于方阵而言，只要A有逆，左逆右逆都可以 ;
左逆 单位阵 右逆 而非方阵因为形状不同无法相乘，左逆并不等于右逆)
1。奇异矩阵(没有逆)
判定方法：a.行列式
（常用) 
b.假设AB=C，C中各列为A中相应列的倍数，
A中两列共线(向量角度)，所有的线性组合均在此条直线(1,3)上
而(1，0）不在其上，则
不可能是A这些列的线性组合
C不是单位阵，A是奇异矩阵
非零向量X，使得AX=0，这样的矩阵A没有逆
(如果其中一列对线性组合毫无贡献，矩阵 3个
加上-1个
不可能有逆)
假设
,又
, 
假设不成立
结论：不可逆(奇异)矩阵其列能通过线性组合(非零向量X)得到0
(若左乘其逆，则X=0,所以不成立)
2。非奇异矩阵(可逆)
1.判定方法：a.行列式
b.各列的方向不同，组合能得到任何向量
A I (求逆~解2个方程组)
2.求逆方法
a.高斯-若尔当消元法[即初等变换(利用增广矩阵能同时处理两个方程组)]
(求逆~求解方程组）
即 
(消元矩阵E：消元法的矩阵形式)
b. 待定系数求解方程
设 
用中的系数表示 I（单位矩阵)
c.利用伴随矩阵求解
公式： 
[方阵
(即 行数=列数)可逆的充分必要条件是
,当A可逆时, ]
d.特殊
二阶矩阵[特殊口诀得到伴随矩阵(主对角线交换，副对角线变号)，根据方法c求解]
第四课 A的LU分解
A=LU
(总的消元公式，最基础的矩阵分解）
1。消元矩阵的乘法(相关见第二课）
[括号可以移动，即结合律(相关见第一课)]
(放另一侧检验)
2。转置(相关见第一课)
(类比记忆:1,复合函数求导 2,先脱鞋子，再脱袜子，其逆动作是先穿袜子，再穿鞋子)
3。可逆矩阵A经过行变换得到U
1，假设主元上没有0，不需要行交换
a.二阶矩阵(阶只对方阵定义)
即 
(消元矩阵
:把
位置上的数消成0)
即
其中，
[的逆(即 
)的求解方法详见第三课]
L:lower 下三角 U:upper 上三角 (对角线均为1) D:diagonal 对角矩阵
b.三阶矩阵
(乘积的逆，只需要分别求逆，然后反顺序相乘即可）
即 
则 EA=U
(A中
处的位置为0，没有
)
[上三角矩阵与上三角矩阵的乘积都是上三角矩阵(即对角线的数保持不变)]
即
则A=LU
(把EA=U转换成A=LU,这样2和5不会冲突得到10,消元乘数还在L里，则L不用运算，只 需要写出所有消元乘数，简便了运算)
[如果不存在行互换，消元乘数(即消元步骤中需要乘以并减去的那个倍数),可直接写入L中]
关于(以矩阵形式进行)消元:比如进行消元步骤，只要步骤正确，可在得到LU的过程中把 A抛开，A的信息都包含于LU中，当完成A的消元，只需要记住得到的U和由消元所 用乘数构成的L，A可以不管了。
第五课 转置 — 置换 — 向量空间R
2，如果主元上有0，允许行互换(置换矩阵可以用来进行行互换) —— 转置与置换
置换矩阵：一个m*n(m<=n)的(0,1)矩阵P为置换矩阵的充要条件是P的每一行恰有一 个1，每一列也恰有一个1，其余系数均为0。
置换矩阵是单位矩阵的延伸版，是单位矩阵进行初等变换(行交换和列交换)后得到 的矩阵(即行重新排列了的单位矩阵),其必然为正交矩阵[若A=E或A=E,则称n 阶实矩阵为正交矩阵(其中表示A的转置矩阵，E为单位矩阵)]。
单位矩阵是不做任何变换(即毫无作为)的置换矩阵，是最基本的置换矩阵，通过单 位矩阵(使用行变换或列变换)找置换矩阵更容易。
所有n阶置换矩阵P(用来完成行互换的矩阵)的个数共有n!种(即n阶单位矩阵各行重 新排列后所有可能的数目),其中,阶只对方阵定义，n阶即为n*n。
如3*3的置换矩阵P共有6种(表示由单位矩阵交换和得到的置换矩阵),
将它们两两相乘,其结果仍在它们之中产生,即重复进行行互换,结果仍然是行互换 如果取其逆，只用将行换回去即可，即其逆也在它们之中。
性质：所有置换矩阵均可逆(各行还原后得到单位矩阵)
(较少见) 
(不止P有这种性质)
转置 
即
对称矩阵：矩阵转置后没有改变，即
(较常见)
所有的
都是对称矩阵
[验证对称性的不二法门：取个转置，看是否不变 （即 ) ]
对称矩阵，证毕
转置乘法法则：转置后，改变乘法顺序（该性质与逆的乘法法则一样）
,也可写作
，即绕对角线互换一次，再互换一次，最终还是R本身，即
[或]
第一，二两章（完）