线性代数 1

第一课 方程组的几何解释

置换矩阵[一个m*n(m<=n)的(0,1)矩阵P为置换矩阵的充要条件是P的每一行恰有一个1,每一列恰有一个1,其余系数均为0]

[注意区别置换矩阵和转置矩阵,两者关系:置换矩阵的逆等于其转置,即P^{-1}=P^{T}]

{置换矩阵是单位矩阵的延伸版,是单位矩阵进行初等变换(行交换和列交换)后得到的矩阵,其必然为正交矩阵[若AA^{T}=E或A^{T}A=E,则称n阶实矩阵为正交矩阵(其中A^{T}表示A的转置矩阵,E为单位矩阵)]}

[通过单位矩阵(使用行变换或列变换)找置换矩阵更容易]      

一.“左行右列”

  1。交换r_1{},r_2{}(行交换~左乘)

         \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} c & d\\ a& b \end{bmatrix}

             P(置换矩阵)P中[0 1]表示0个r_1{},1个r_2{},即得到[c d]

   2。交换c_1{},c_2{}(列交换~右乘)

        \begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} b&a \\ d &c \end{bmatrix}

                          P(置换矩阵)P中[0 1]表示0个c_1{},1个c_2{},即得到[b d]

第二课 矩阵消元

二.关于运算

   1。消元(消元,为了正确认识矩阵的概念)   

     (每个台阶的第一个元素称为主元) 

        [0不能做主元,若0占据主元位置,0下面有非0元素,则可进行行交换(暂时性失效)]

   2。a.结合律成立(即括号可以移动),交换律不成立(即乘法顺序不能改变),因而除非两者可以交换,否则不满足完全平方公式和平方差公式

           b.减多少就加多少回来

   3。矩阵内部元素表示含义

\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\3 &1 & 0\\0 &0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ -3 & 1 &0 \\ 0&0 &1 \end{bmatrix}=  =\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

A^{-1}              A                         I(单位阵,也可用E表示,并无差别)

A^{-1}r_1{},r_3{}表示A的r_1{},r_3{}各乘以1分别得到I中的r_1{},r_3{}A^{-1}r_2{}表示A的3r_1{}+r_2{}得到I中的r_2{}

第三课  乘法和逆矩阵

三.矩阵乘法(矩阵相乘不一定要是方阵,若是方阵,则大小必须相同;若不是方阵,则大小不同,但须满足特定格式:A_{m*n}*B_{n*p}=C_{m*p} )

      AB=C

    1。常规方法(求和公式)             c_{34}=row3ofA*colum4of B=a_{31}b_{14}+a_{32}b_{24}+...=\sum_{k=1}^{n}a_{3k}b_{k4}

     2。列方法(将B看作p个单独的列向量,C中各列是A中各列的线性组合~A*向量,B中的元素相当于表明这是怎样的线性组合)

AB_{c_1{}}=C_{c_1{}}

      3。行方法(与列方法相似,注意左行右列即可)

A_{r_1{}}B=C_{r_1{}}

       4。列*行

A_{c_1{}}B_{r_1{}}+A_{c_2{}}B_{c_2{}}

              (行空间即行所有可能的线性组合)

        5。分块矩阵(分块乘法法则)

四.逆

A^{-1}A=I=AA^{-1}              (对于方阵而言,只要A有逆,左逆右逆都可以 ;

左逆     单位阵    右逆             而非方阵因为形状不同无法相乘,左逆并不等于右逆)

          1。奇异矩阵(没有逆)

                判定方法:a.行列式\left | A \right |=0(常用)                                                                                  \begin{bmatrix} 1 & 2\\3 &6 \end{bmatrix} A                    b.假设AB=C,C中各列为A中相应列的倍数,

                                     \becauseA中两列共线(向量角度),所有的线性组合均在此条直线(1,3)上

                                     而(1,0)不在其上,则I\begin{bmatrix} 1 &0 \\ & \end{bmatrix} 不可能是A这些列的线性组合

                                      \thereforeC不是单位阵,A是奇异矩阵

                 \exists非零向量X,使得AX=0,这样的矩阵A没有逆

                 \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 &6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3\\ -1 \end{bmatrix}=3\begin{bmatrix} 1\\3 \end{bmatrix}+(-1)\begin{bmatrix} 2\\6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}    (如果其中一列对线性组合毫无贡献,矩阵                                          3个c_{1}加上-1个c_{2}                     不可能有逆)

                 假设A^{-1}(AX)=X,又A^{-1}(AX)=OA^{-1}=0X=\begin{bmatrix} 3\\-1 \end{bmatrix}\neq 0   \therefore假设不成立

                 结论:不可逆(奇异)矩阵其列能通过线性组合(非零向量X)得到0

                          (若左乘其逆,则X=0,所以不成立)

           2。非奇异矩阵(可逆)

                1.判定方法:a.行列式\left | A \right |\neq 0

\begin{bmatrix} 1 &3 \\2 &7 \end{bmatrix} A                    b.各列的方向不同,组合能得到任何向量

                 \begin{bmatrix} 1 &3 \\2 &7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a &c \\b &d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 &1 \end{bmatrix}            AA^{-1}_{c_{1}}=I_{c_{1}}       AA^{-1}_{c_{2}}=I_{c_{2}}      

                     A            A^{-1}           I                   (求逆~解2个方程组)

               2.求逆方法

                   a.高斯-若尔当消元法[即初等变换(利用增广矩阵能同时处理两个方程组)]

                    (求逆~求解方程组)

                    \begin{bmatrix} A &I \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} I & A^{-1} \end{bmatrix}    即   E\begin{bmatrix} A &I \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} I &A^{-1} \end{bmatrix}  (消元矩阵E:消元法的矩阵形式)

                   EA=I\Rightarrow E=A^{-1}      EI=E=A^{-1}

                   b. 待定系数求解方程     

                   AA^{-1}=I     设  A^{-1}=\begin{bmatrix} a & b\\ c& d \end{bmatrix}   用A^{-1}中的系数表示 I(单位矩阵)

                   c.利用伴随矩阵求解

                    公式:    A^{-1}=\frac{A^{*}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}   

                    [方阵A_{n*n}(即 行数=列数)可逆的充分必要条件是\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}\neq 0,当A可逆时,   A^{-1}=\frac{A^{*}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}   ] 

                    d.特殊 

                         二阶矩阵[特殊口诀得到伴随矩阵(主对角线交换,副对角线变号),根据方法c求解]

第四课 A的LU分解 

A=LU   

(总的消元公式,最基础的矩阵分解)

            1。消元矩阵的乘法(相关见第二课)

                  \left ( AB \right )\left ( B^{-1}A^{-1} \right )=A\left ( BB^{-1} \right )A^{-1}=I  [括号可以移动,即结合律(相关见第一课)]

                   \left ( B^{-1}A^{-1} \right )\left ( AB \right )=B^{-1}\left ( A^{-1}A \right )B=I    (放另一侧检验)     

            2。转置(相关见第一课)

                  AA^{-1}=I      \left ( A^{-1} \right )^{T}A^{T}=I        \left ( A^{-1} \right )^{T}=\left ( A^{T} \right )^{-1}

                   (类比记忆:1,复合函数求导  2,先脱鞋子,再脱袜子,其逆动作是先穿袜子,再穿鞋子)

            3。可逆矩阵A经过行变换得到U

                  1,假设主元上没有0,不需要行交换 

                  a.二阶矩阵(只对方阵定义) 

                 \begin{bmatrix}1&0\\-4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 &1 \\ 8 &7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &1 \\ 0& 3 \end{bmatrix}      即   E_{21}A=U  (消元矩阵E_{21} :把r_2c_1位置上的数消成0)

                 \begin{bmatrix} 2 &1 \\ 8 & 7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 4& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 &1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 4& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 &0 \\ 0& 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\ 0 &1 \end{bmatrix} 即A=LU=LDU                                      其中,L=E_{21}^{-1}      [E_{21}的逆(即 E_{21}^{-1})的求解方法详见第三课]

                 L:lower 下三角     U:upper 上三角    (对角线均为1)           D:diagonal 对角矩阵

                  b.三阶矩阵

                 E_{32}E_{31}E_{21}A=U  A=E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}U=LU 

                 (乘积的逆,只需要分别求逆,然后反顺序相乘即可)   

                 \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0&-5 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ -2 & 1 &0 \\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2& 1 & 0\\ 10 &-5 & 1 \end{bmatrix}  即 E_{32}E_{21}=E          则   EA=U

                 (\becauseA中r_{3}c_{1}处的位置为0,\therefore没有E_{31})

                 [上三角矩阵与上三角矩阵的乘积都是上三角矩阵(即对角线的数保持不变)]

                 \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 2 &1 & 0\\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0&5 &1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 2 &1 & 0\\ 0 &5 &1 \end{bmatrix}   即E_{21}^{-1}E_{32}^{-1}=L   则A=LU

              (把EA=U转换成A=LU,这样2和5不会冲突得到10,消元乘数还在L里,则L不用运算,只                     需要写出所有消元乘数,简便了运算)

              [如果不存在行互换,消元乘数(即消元步骤中需要乘以并减去的那个倍数),可直接写入L中]

            \bullet关于(以矩阵形式进行)消元:比如进行消元步骤,只要步骤正确,可在得到LU的过程中把                  A抛开,\becauseA的信息都包含于LU中,\therefore当完成A的消元,只需要记住得到的U和由消元所                  用乘数构成的L,A可以不管了。

第五课 转置 — 置换 — 向量空间R

                2,如果主元上有0,允许行互换(置换矩阵可以用来进行行互换)  ——   转置与置换

                  \bigstar置换矩阵:一个m*n(m<=n)的(0,1)矩阵P为置换矩阵的充要条件是P的每一行恰有一                                           个1,每一列也恰有一个1,其余系数均为0。

                     \bullet置换矩阵是单位矩阵的延伸版,是单位矩阵进行初等变换(行交换和列交换)后得到                           的矩阵(即行重新排列了的单位矩阵),其必然为正交矩阵[若AA^{T}=E或A^{T}A=E,则称n                         阶实矩阵为正交矩阵(其中A^{T}表示A的转置矩阵,E为单位矩阵)]。                          

                      \bullet单位矩阵是不做任何变换(即毫无作为)的置换矩阵,是最基本的置换矩阵,通过单                            位矩阵(使用行变换或列变换)找置换矩阵更容易

                       \bullet所有n阶置换矩阵P(用来完成行互换的矩阵)的个数共有n!种(即n阶单位矩阵各行重                           新排列后所有可能的数目),其中,阶只对方阵定义,n阶即为n*n。

                          如3*3的置换矩阵P共有6种(表示由单位矩阵交换和得到的置换矩阵),

                          \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} 0& 1 & 0\\ 1& 0 &0 \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} 0 &0 &1 \\ 0& 1 &0 \\ 1 &0 &0 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 0 &1 \\ 0& 1 &0 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} 0 &1 &0 \\ 0& 0 &1 \\ 1& 0 &0 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} 0 & 0 &1 \\ 1& 0 &0 \\ 0& 1 &0 \end{bmatrix}

                       将它们两两相乘,其结果仍在它们之中产生,即重复进行行互换,结果仍然是行互换                           如果取其逆,只用将行换回去即可,即其逆也在它们之中。

                  \bigstar性质:所有置换矩阵均可逆(\because各行还原后得到单位矩阵)     

                                P^{-1}=P^{T}(较少见)        P^{T}P=I(不止P有这种性质)  

                  \bigstar转置  (A^{T})_{ij}=A_{ji}   

                      \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2& 3\\ 4 & 1 \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} 1 &2 &4 \\ 3&3 &1 \end{bmatrix}         即R^{T}_{3*2}=R_{2*3}

                  \bigstar对称矩阵:矩阵转置后没有改变,即A^{T}=A(较常见)  

                  \bullet所有的R^{T}*R都是对称矩阵

                    [验证对称性的不二法门:取个转置,看是否不变 (即A^{T}=A ) ]

                     (R^{T}R)=R^{T}*R^{TT}=R^{T}R\rightarrow 对称矩阵,证毕

                    转置乘法法则转置后,改变乘法顺序(该性质与逆的乘法法则一样) 

                    R^{TT},也可写作(R^{T})^{T},即绕对角线互换一次,再互换一次,最终还是R本身,即

                                                                  R^{TT}[或(R^{T})^{T}]=R    

第一,二两章(完)

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