线性无关的几何意义
写在前面：线性空间是通过基向量线性组合张成的。
V = k 1 a 1 + k 2 a 2 + . . . + k n a n ； a 1 , a 2 , . . . , a n 是 V 的 一 个 基 ， k 1 , . . . , k n 取 遍 一 切 实 数 V=k_1a_1+k_2a_2+...+k_na_n；a_1,a_2,...,a_n是V的一个基，k_1,...,k_n取遍一切实数 V=k1a1+k2a2+...+knan；a1,a2,...,an是V的一个基，k1,...,kn取遍一切实数
文章目录
- 前言
- 一、线性无关的定义
- 二、线性无关几何上的理解
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- 1. 基
- 2.什么样的向量组能看作线性空间的基呢？
- 3.几何上理解线性无关
- 总结
前言
初学线性代数时，看到线性无关的定义，可能会一脸茫然，线性无关为什么是这样定义的？
当时可能没多想，记下了就行，碰到相关问题按定义来套就行。
接下来和大家分享下自己在几何上如何理解线性无关的定义的一些想法。
一、线性无关的定义
首先，引入数学上关于线性无关的定义。设有 m m m 个 n n n 维向量 a 1 , a 2 , . . . , a m a_1,a_2,...,a_m a1,a2,...,am，使得 a 1 , a 2 , . . . , a m a_1,a_2,...,a_m a1,a2,...,am 的线性组合 k 1 a 1 + k 2 a 2 + . . . + k m a m = 0 k_1a_1+k_2a_2+...+k_ma_m= \boldsymbol0 k1a1+k2a2+...+kmam=0成立，
当且仅当
k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1=k_2=...=k_m=0 k1=k2=...=km=0
称向量组 a 1 , a 2 , . . . , a m a_1,a_2,...,a_m a1,a2,...,am线性无关。
二、线性无关几何上的理解
1. 基
什么叫线性空间的基呢？如果把线性空间理解为房子，基就是撑起房子的柱子。比如，三维几何空间的基
e 1 = [ 1 , 0 , 0 ] T e 2 = [ 0 , 1 , 0 ] T e 3 = [ 0 , 0 , 1 ] T e_1=[1,0,0]^T \ \ \ e_2=[0,1,0]^T \ \ \ \ e_3=[0,0,1]^T e1=[1,0,0]T e2=[0,1,0]T e3=[0,0,1]T
如下图1.1，这里的 e 1 ， e 2 ， e 3 e_1，e_2，e_3 e1，e2，e3 就是撑起三维几何空间的柱子，缺一不可。房子里面的每一块砖头，都可以通过 e 1 ， e 2 ， e 3 e_1，e_2，e_3 e1，e2，e3 定位得到。比如那块砖头 b b b 砖头 （ 2 ， 3 ， 7 ） （2，3，7） （2，3，7），就是 b = 2 e 1 + 3 e 2 + 7 e 3 b = 2e_1+3e_2+7e_3 b=2e1+3e2+7e3
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怎么理解 e 1 , e 2 , e 3 e_1,e_2,e_3 e1,e2,e3是三维空间的基呢？还缺一不可呢？因为三位空间任何一个向量都可以用 e 1 ， e 2 ， e 3 e_1，e_2，e_3 e1，e2，e3的线性组合来表示。例如任取两点
α = [ 1 , 2 , 3 ] ， β = [ − 3 , 2 , − 7 ] \alpha=[1,2,3]，\beta=[-3,2,-7] α=[1,2,3]，β=[−3,2,−7]就是三位空间的两个点，容易看出 α = 1 e 1 + 2 e 2 + 3 e 3 ， β = − 3 e 1 + 2 e 2 + − 7 e 3 \alpha=1e_1+2e_2+3e_3，\beta = -3e_1+2e_2+-7e_3 α=1e1+2e2+3e3，β=−3e1+2e2+−7e3于是，对于三维空间的点 η = k 1 a 1 + k 2 a 2 + k 3 a 3 \eta=k_1a_1+k_2a_2+k_3a_3 η=k1a1+k2a2+k3a3
k 1 , k 2 , k 3 k_1,k_2,k_3 k1,k2,k3取遍所有的实数，就能填满整个三维空间，如图1.3。
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三维空间通过 e 1 , e 2 , e 3 e_1,e_2,e_3 e1,e2,e3 的线性组合生成，两个可以吗？比如 e 1 , e 2 e_1,e_2 e1,e2，答案肯定是不能的， e 1 , e 2 e_1,e_2 e1,e2的线性组合只能生成一个平面，如下图所示。
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三维空间任意一个点，都可以用 e 1 , e 2 , e 3 e_1,e_2,e_3 e1,e2,e3的线性组合表示，这多好的一件事情呀。对于三维空间大家都很熟悉，可是四维，五维，n维呢，看不见摸不着，怎么研究呢，同样的方法取一个基，用基向量进行线性组合张成高维空间。就把难以想象的空间通过具体的基给描述出来了。
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所以呢，基就是可以把线性空间的所有向量通过基向量的线性组合表示出来的向量组。
2.什么样的向量组能看作线性空间的基呢？
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我们用过原点的二维平面来举例， a 1 = [ 1 , 2 ] T , a 2 = [ 1 , 3 ] T a_1=[1,2]^T,a_2=[1,3]^T a1=[1,2]T,a2=[1,3]T这个能作为二维平面的基吗？答案是可以的。根据向量的平行四边形法则，通过 k 1 a 1 + k 2 a 2 k_1a_1+k_2a_2 k1a1+k2a2 的线性组合（ k 1 , k 2 k_1,k_2 k1,k2取遍一切实数）可以把平面中任意一点表示出来。
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那么取 α 1 = [ 1 , 1 ] T ， α 2 = [ 2 , 2 ] T \alpha_1 = [1,1]^T，\alpha_2=[2,2]^T α1=[1,1]T，α2=[2,2]T可不可以将平面中任意点线性表出呢，显然是不行的，通过 k 1 α 1 + k 2 α 2 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2 k1α1+k2α2的线性组合（ k 1 , k 2 k_1,k_2 k1,k2取遍一切实数）只能生成一条 y = x y=x y=x的直线。并不能生成整个二维平面。
如图1.5所示。
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通过两个例子看出，能作为二维平面的一个基，只能是不在同一直线上的两个向量。
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那么三维空间呢？就是，两个基向量能够生成一个平面，另外一个基向量起始点在原点方向朝上。这三个向量就能生成三维空间，如图1.6所示。
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线性组合 k 1 a 1 + k 2 a 2 + . . . + k m a m = 0 k_1a_1+k_2a_2+...+k_ma_m= \boldsymbol0 k1a1+k2a2+...+kmam=0成立，当且仅当 k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1=k_2=...=k_m=0 k1=k2=...=km=0那么我们可以说 a 1 , a 2 , … , a m a_1,a_2,\dots,a_m a1,a2,…,am 它们就是能生成m维线性空间的一个基！
3.几何上理解线性无关
- 通过前面的铺垫，我们观察到。要使得向量的线性组合 k 1 e 1 + k 2 e 2 + k 3 e 3 = 0 k_1e_1+k_2e_2+k_3e_3=\boldsymbol0 k1e1+k2e2+k3e3=0成立，只有 k 1 = k 2 = k 3 = 0 k_1=k_2=k_3=0 k1=k2=k3=0，这不就是前面的线性提到的线性无关的定义嘛。而通过 k 1 e 1 + k 2 e 2 + k 3 e 3 k_1e_1+k_2e_2+k_3e_3 k1e1+k2e2+k3e3的任意线性组合可以生成三维几何空间。
- 接下来看看m维线性空间。 k 1 a 1 + k 2 a 2 + . . . + k m a m = 0 k_1a_1+k_2a_2+...+k_ma_m= \boldsymbol0 k1a1+k2a2+...+kmam=0成立，当且仅当 k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1=k_2=...=k_m=0 k1=k2=...=km=0，那么我们可以说 a 1 , a 2 , . . . , a m a_1,a_2,...,a_m a1,a2,...,am它们不是普通的向量，他们是能生成m维线性空间的一个基！
- 那么这和在几何上理解线性无关有什么关联呢？
我们来举1，2，3维几何空间例子说明，首先在一维上（一维可以想象成坐标轴的x轴），一个向量只要不是零向量，它就是线性无关的。而且，它是线性无关的，就可以把一维空间的任意向量线性表出。
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一维空间举例
取向量 a 1 = ( 8 ) a_1=(8) a1=(8)显然它的线性组合 k 1 a 1 = 0 k_1a_1=\boldsymbol0 k1a1=0要成立，只有 k 1 = 0 k_1=0 k1=0。并且通过取 k 1 k_1 k1为任意实数，就可以把x轴的所有数线性表出。
例如 3 ， 5 ， 18 ， 2 3 ， 2 3，5，18， \frac{2}{3}，\sqrt2 3，5，18，32，2显然有 3 8 a 1 = 3 ， 5 8 a 1 = 5 ， 9 4 a 1 = 18 ， 1 12 a 1 = 2 3 ， 2 8 a 1 = 2 \frac{3}{8}a_1=3，\frac{5}{8}a_1=5，\frac{9}{4}a_1=18，\frac{1}{12}a_1=\frac{2}{3}，\frac{\sqrt2}{8}a_1=\sqrt2 83a1=3，85a1=5，49a1=18，121a1=32，82a1=2
所以我们在一维上理解线性无关，想象一下x轴，上面有一个基向量（一个数），它的线性组合要是零向量，只能是它的组合系数为0。 -
二维平面举例
接下来，举一个经过原点的二维平面的例子。找两个不共线的向量 a 1 , a 2 a_1,a_2 a1,a2，它们不共线，表明它们可以生成整个二维平面，那么他们的线性组合（ k 1 a 1 + k 2 a 2 k_1a_1+k_2a_2 k1a1+k2a2）什么时候为零向量呢？根据平行四边形法则，大家想象一下， k 1 , k 2 k_1,k_2 k1,k2取一对实数，就生成一个向量，只有 k 1 , k 2 k_1,k_2 k1,k2同时为0时，才能生成零向量。
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三维空间举例
接下来举个三维空间的例子，大家想象一下三维坐标系xy0z，这里面的零向量就是那个坐标原点，那这个零向量从哪里呢，我们用基向量线性组合的思想，只能是 0 e 1 + 0 e 2 + 0 e 3 = 0 0e_1+0e_2+0e_3=\boldsymbol0 0e1+0e2+0e3=0实际上三维坐标轴x,y,z上的三个向量 e 1 , e 2 , e 3 e_1,e_2,e_3 e1,e2,e3是非常特俗的一个基。
我们也可以取非常普通的一个基，x0y平面取两个不共线向量 a 1 , a 2 a_1,a_2 a1,a2，起始点在坐标原点，朝向z轴正方向取一个向量 a 3 a_3 a3，通过 k 1 a 1 + k 2 a 2 k_1a_1+k_2a_2 k1a1+k2a2 的线性组合， k 1 ， k 2 k_1，k_2 k1，k2取特定的一对实数，使得 β 3 = k 1 a 1 + k 2 a 2 \beta_3 = k_1a_1+k_2a_2 β3=k1a1+k2a2那么 β 3 ， a 3 \beta_3，a_3 β3，a3就在一个平面内且不共线。如图1.7，就回到二维平面情形，它们的组合要生成零向量，只能 β 3 ， a 3 \beta_3，a_3 β3，a3的组合系数为零。
总结
- 线性组合 k 1 a 1 + k 2 a 2 + . . . + k m a m = 0 k_1a_1+k_2a_2+...+k_ma_m= \boldsymbol0 k1a1+k2a2+...+kmam=0成立，当且仅当 k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1=k_2=...=k_m=0 k1=k2=...=km=0那么我们可以说 a 1 , a 2 , . . . , a m a_1,a_2,...,a_m a1,a2,...,am它们不是普通的向量，他们是能生成m维线性空间的一个基！
- 鼓励大家通过线性组合的思想，理解线性空间。即线性空间的向量，是通过基向量的特定线性组合合成的， k 1 a 1 + k 2 a 2 + . . . + k m a m k_1a_1+k_2a_2+...+k_ma_m k1a1+k2a2+...+kmam， k 1 ， k 2 ， . . . ， k m k_1，k_2，...，k_m k1，k2，...，km通过取任意不同的数，取无穷次，就能把线性空间的向量一扫而过。
- 大家想象线性无关的时候，可以在脑海里有一个二维平面x0y，就想象分别位于x，y轴的一个向量，它们之间的线性组合，想要生成零向量，只能组合系数都为0。而这两个向量就是能生成整个二维平面的基向量。