【线代笔记】1.1 Vectors and Combinations - 向量与线性组合

1.1 Vectors and Combinations - 向量与线性组合

Column Vector - 列向量

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在数学中，向量即为带有大小和方向的量。在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。

可以将向量定义为向量空间的元素，只需满足以下向量的加法和向量的乘法两个规则即可

将单独的数字进行组合变为一个向量，通常情况下用列向量表示。
$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]$$

Vector Addition - 向量的加法

$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]and\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right]addto\mathbf{v}+\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}{v}_1+w_1\\ v_2+w_2\end{array}\right]$$

Scalar Multiplication - 向量的乘法

$$2\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2v_1\\ 2v_2\end{array}\right]=\mathbf{v}+\mathbf{v}-\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}-v_1\\ -v_2\end{array}\right]$$

-v和v两个向量相加的结果为0，和数字0的概念是不一样的

Linear Combinations - 线性组合

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将上述的两个法则合起来就得到了线性组合的概念
$$c\mathbf{v}+d\mathbf{w}$$
若我们将线性组合用可视化，可理解为从原点（0,0）出发的矢量

Vectors in Three Dimensions - 三维空间中的向量

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上面我们的列向量包含了两个分量，对应于xy平面上的一个点

当分量从2个变为3个的时候，对应于xyz空间中的一个点

除了上面的列向量表示方法外，也可以用$(v_1,v_2,v_3)$来表示一个含有三个分量的向量

The Important Questions - 重要的问题

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假设有三维空间中的非零向量 u, v, w

1. What is the picture of all combinations cu ? => The combinations cu fill a line through (0, 0, 0)

2. What is the picture of all combinations cu + dv ? => The combinations cu+ dv fill a plane through (0, 0, 0)

3. What is the picture of all combinations cu + dv + ew ? => The combinations cu+ dv + ew fill three-dimensional space

u、v不共线，w不在u、v构成的平面 => Line, then plane, then space

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总结：本节介绍了线性组合的含义、表示和一些基本的问题