数

数分之重要，对于我的科研来说，是难以想象的。所以，今天起我重新学习数分，一点一点地，建立我的认识。

翻开数分的第一章，介绍实数的概念。我看了第一段，就被这样一个问题所纠缠。有理数可以利用分数形式表示，或者有限十进制or无限十进制循环小数表示，实数里除掉有理数的数，是无理数。

那么无理数是什么？这样的说法太令人不满了。就像通常情况下我们对数学家的不满，即，说的话都是对的，但是感觉没有意义。那么也就是说，无理数的性质，或者结构，或者分类，目前根本不清楚。我们能够清楚的部分，就是这么令人不满。

对于这样的问题，我需要回顾一下数的发展史。在数万年的演化中，人类需要计量，所以人们开始定义了1。然后在1的基础上加，有了自然数；减，扩展到整数。乘法因为衡量面积产生，到了除法，有了问题，会有非整数出现。那么有理数的概念就需要了。有理数，或是比例数，可公度数，毕达哥拉斯学派给它度量长度的说法。整数是离散的，在有理数出现之前，人们无法度量长度。长度的度量是比例数or有理数的直接体现。毕达哥拉斯对有理数有很深的感情，指出了度量这一本质，但是随着进一步认识，发现有理数的某种结构组合，会出现无理数，就是勾股定理or毕达哥拉斯定理。回忆到这里，古代数学似乎告一段落，因为在极限产生之前，无理数没有明确的定义。

大学的时候，我们都学过数分or高等数学，对极限有了了解。无理数的定义可以建立在这个之上，即，无理数是一个柯西列，是有理数的极限。所以，所有整数，都是柯西列。整数的加减乘除，还是整数。无理数一个柯西列，这样的定义仍然是让人不满的，数学家们给出了严格的定义，但是这也是一个轮廓的圈定，其有何种性质，结构如何，仍然非常不清楚。

不过，我们现在已经知道两个非常简单的性质。

无理数的数量的刻画。我们都知道，无论是自然数、整数、有理数以及整数，都是无穷多个。那么到底哪个更多呢？无穷多个，数不清，数学家们利用“势”来表示，哪一个更多。数数哪一种更多，我们需要感谢康托他老人家。他引入集合的概念，我们就可以对以上我们提到的数们，进行多少的划分了。具体怎么操作？比较两种数（即两个集合），其中一个数（集合）中的元素如果都可以映射到另一个数（集合）中，反过来另一个也可以都映射回去，即一一映射，那么这两种数的势，是一样的。这样看来，自然数、整数、有理数，势是一样的，数学上给这种势命名为阿列夫0；而实数，则明显比上述几种要多，它的势命名为阿列夫1。值得注意的是，阿列夫0的有限次方还是阿列夫0，而阿列夫0的阿列夫0次方，则是阿列夫1。那么阿列夫0和阿列夫1之间，到底有没有其他的势呢？据说有两种说法，一种说有，一种说无，两种是建立在不同数学体系上的，二者互不矛盾。而这个问题，据说是希尔伯特23个问题之一，我没有考证过，也思考不了。

说完了数的多少，很自然的想法，就是长度的刻画。比个例子，在0到1区间，其长度是1，点的长度是0，每一个有理数，都是一个离散的点，那么有理数的长度是0，而无理数的长度是1。

除掉这些，我相信对于无理数的种类，也是值得学习和思考的，在后续的学习中，我会进行讨论。

写完上面的内容，忽然发现，我的数分书，一个下午，只看了一行。