【数据结构】排序算法的稳定性分析

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前言：

前面我们已经学习了八大排序的所有算法，本篇主要讲解每个算法的稳定度推理。

一、稳定性的定义：

例如：一个人的性格很稳定。或是这个人做事的时间很稳定，稳定指的是他做事有着自己固定的速度，而不是越稳定做事越快或越慢。这是我们生活中所理解的稳定。

相同的两个数据排序后，如果相对位置不发生变化，就是稳定的；反之，如果相对位置发生变化，就是不稳定的。

举个例子：
假设小组成员一共A，B，C，D四人，通过一次考试来对他们进行排名。
我们使用一个队列来存储他们的提交顺序：
提交顺序依次是 A，B，C，D

提交完毕，需要对他们进行排序，在这里注意，相同的分数下，通过比较提交的先后次序确定排名。

如果这个排序算法是稳定的，那么排序的次序应该是B,D,C,A; B和D的相对位置先后顺序没有改变。
如果这个排序算法是不稳定的，那么排序的次序应该是D,B,C,A; B和D的相对位置先后顺序改变。
由上可以发现，稳定的算法可以确保排名的准确性。

二、排序稳定性的分析：

(1)冒泡排序

冒泡排序就是把小的元素往前调或者把大的元素往后调。比较是相邻的两个元素比较，交换也发生在这两个元素之间。所以，如果两个元素相等，是不会执行交换操作的；如果两个相等的元素没有相邻，那么即使通过前面的两两交换把两个相邻起来，这时候也不会交换，所以相同元素的前后顺序并没有改变，所以冒泡排序是一种稳定排序算法。

(2)选择排序

选择排序是给每个位置选择当前元素最小的，比如给第一个位置选择最小的，在剩余元素里面给第二个元素选择第二小的，依次类推，直到第n - 1个元素，第n个元素不用选择了，因为只剩下它一个最大的元素了。那么，在一趟选择，如果当前元素比一个元素小，而该小的元素又出现在一个和当前元素相等的元素后面，那么交换后稳定性就被破坏了。举个例子，序列5 8 5 2 9，我们知道第一遍选择第1个元素5会和2交换，那么原序列中2个5的相对前后顺序就被破坏了，所以选择排序不是一个稳定的排序算法。

(3)插入排序

插入排序是在一个已经有序的小序列的基础上，一次插入一个元素。当然，刚开始这个有序的小序列只有1个元素，就是第一个元素。然后是第二个元向前比较，第三个~~；比较是从有序序列的末尾开始，也就是想要插入的元素和已经有序的最大者开始比起，如果比它大则直接插入在其后面，否则一直往前找直到找到它该插入的位置。如果碰见一个和插入元素相等的，那么插入元素把想插入的元素放在相等元素的后面。所以，相等元素的前后顺序没有改变，从原无序序列出去的顺序就是排好序后的顺序，所以插入排序是稳定的。

(4)快速排序

以单趟排序是霍尔排序为例,快速排序有两个方向，左边的i下标一直往右走，当a[i] <= a[key]，其中key是中枢元素的数组下标，一般取为数组的首元素。而右边的j下标一直往左走，当a[j] > a[key]。如果i和j都走不动了，i <= j，交换a[i]和a[j],重复上面的过程，直到i > j。 交换a[j]和a[center_index]，完成一趟快速排序。在中枢元素和a[j]交换的时候，很有可能把前面的元素的稳定性打乱，比如序列为5 3 3 4 3 8 9 10 11，现在中枢元素5和3（第5个元素，下标从1开始计）交换就会把元素3的稳定性打乱，所以快速排序是一个不稳定的排序算法，不稳定发生在中枢元素和a[j] 交换的时刻。

(5)归并排序

归并排序是把一个序列通过递归地分成短序列，直至分到每组只剩一个元素停止，开始并，从只有1个元素（认为直接有序）或者2个序列（1次比较和交换），然后把各个有序的一段段的序列合并成一个有序的长序列，不断合并直到原序列全部排好序。可以发现，在1个或2个元素时，1个元素不会交换，2个元素如果大小相等也不会i交换，这不会破坏稳定性。那么，在短的有序序列合并过程中我们可以保证如果两个当前元素相等时，我们把处在前面的序列的元素保存在结果序列的前面，这样就保证了稳定性。所以，归并排序也是稳定的排序算法。

(6)基数排序

基数排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序，最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。基数排序基于分别排序，分别收集,所以，归并排序也是稳定的排序算法。

(7)希尔排序

希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序，当刚开始元素很无序的时候，步长最大，所以插入排序的元素个数很少，速度很快；当元素基本有序了，步长很小， 插入排序对于有序的序列效率很高。所以，希尔排序的时间复杂度会比O(n^2)好一些。由于多次插入排序，我们知道一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以希尔排序是不稳定的。

(8)堆排序

我们知道堆的结构是节点i的孩子为2 * i和2 * i + 1节点，大顶堆要求父节点大于等于其2个子节点，小顶堆要求父节点小于等于其2个子节点。在一个长为n 的序列，堆排序的过程是从第n / 2开始和其子节点共3个值选择最大（大顶堆）或者最小（小顶堆），这3个元素之间的选择当然不会破坏稳定性。但当为n / 2 - 1， n / 2 - 2， … 1这些个父节点选择元素时，就会破坏稳定性。有可能第n / 2个父节点交换把后面一个元素交换过去了，而第n / 2 - 1个父节点把后面一个相同的元素没 有交换，那么这2个相同的元素之间的稳定性就被破坏了。所以，堆排序不是稳定的排序算法。

综上，得出结论:
不是稳定的排序算法: 选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序
稳定的排序算法: 冒泡排序、插入排序、归并排序和,基数排序

排序算法规律总结：

快排： 初始顺序影响较大，有序是，性能最差

插入， 冒泡 : 接近有序，性能最好

希尔：希尔是对插入排序的优化，这种优化是在无序的序列中才有明显的效果，如果序列接近有序，反而是插入最优。

堆排，归并，选择对初始顺序不敏感