孙珩
孙珩

线性代数2：线性方程组与矩阵表示

在基础代数和解析几何里，我们已经遇到过两个未知量的线性方程组。

例：

\begin{align*} 4x_1-5x_2&=-13\\ -2x_1+3x_2&=9 \end{align*}

这个线性方程组有两个方程和两个未知量，有唯一解（并非所有线性方程组都有唯一解）。

如果采用矩阵的表示方法，我们可以将其写成

Ax=b

其中

A=\left( \begin{array}{cc} 4 & -5\\ -2 & 3\\ \end{array} \right),\quad b=\left( \begin{array}{c} -13\\ 9\\ \end{array} \right).

线性方程组的一般形式是：

\begin{align*} &a_{11}x_1+a_{11}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ &a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ &\cdots\\ &a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{align*}

其中 x_1, x_2, \cdots, x_n 代表未知量， a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n) 代表未知数的系数，b_1,b_2,\cdots,b_m 代表常数项，可以将方程组简写为Ax=b

其中 m 和 n 都是正整数，用 A\in \mathbb{R}^{m\times n} 表示实数域上的一个 m 行 n 列的矩阵，

A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)

矩阵中元素 a_{ij}\in\mathbb{R} 的第一个下标代表其所在的行数，第二个下标代表列数。因此，a_{3,2} 表明该元素位于上述矩阵中的第三行第二列。

x=\left( \begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array} \right),\quad b=\left( \begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{n}\end{array} \right)

x\in \mathbb{R}^n 和 b\in \mathbb{R}^n 都是 n 维向量，也可以将它们看作是 n 行 1 列的矩阵，所以 x\in \mathbb{R}^{n \times 1},b\in \mathbb{R}^{n \times 1}.

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