傅立叶变换再理解——离散傅里叶变换DFT到底是用来干什么的？它有什么局限性？

FT、FS，DTFT、DFS
第一行，自然界信号其实都是模拟的，都是连续的非周期信号，它的频谱也应该是像右侧一样的连续非周期频谱。
但是我们是数字信号处理，什么是数字信号，就是采样量化后的信号，也就是说我们实际采集到的信号是像第三行一样的。而第三行的频谱是连续周期的，很显然我们永远都可以找到无线高频的信号恰好在那几个点被采样到，那假如说我们知道目标信号频率不会最多不会超过某个值，那频谱高于这个频率的值全都可以当作0，奈奎斯特采样定理告诉我们只要采样频率大于两倍信号最高频率，就可以保证频谱只有-fs(fs是采样周期)到fs之间的频率分量是真实存在的。
一般来说，世界上大部分信号都是低频分量比较多，高频分量比较少，也就是说只要采样频率足够高，就可以还原出大致的波形。对于一些特殊的波，那就需要特殊判断了，判断无非就是做实验，试试不同的采样频率。
我们继续，把频谱大于最高频率的值都滤除掉，频谱就不再是周期的了，也就变回了第一行，但事实上变得回去吗？当然变不回去，我们在计算机里算出来的频率，怎么可能是连续的呢？我们最多把离散的频率带进dtft里，求出几个离散的值，也就是说我们真正得到的是第二行右侧的频谱。后面还是同样的道理，变回左边，左边不可能是连续的，就变成了最下面一行的左侧，好了，这回在变换我们得到的真的是离散的频谱了，再结合之前的采样定理，高频信号是不需要的，所以我们最终需要的只是FS（傅里叶级数）的主值区间。这就是DFT，真正在计算机中能使用到的频谱，而快速计算dft的fft是后话了。

PS：横坐标为什么是从-pai到pai，这是因为这个横坐标$\omega$是数字角频率，也就是采样周期x模拟角频率，就是一个每采一个点，信号相位改变了多少。
Ω=2πf；
ω=ΩT=Ω/fs=2πf/fs=2π Ω/Ωs
那么pai对应的就是Ω=0.5Ωs,也就是能采到最高频率的信号了。

再有一个问题，我们求dfs原序列是周期性的，但我们的原信号不是啊，这是咋回事呢？我们在处理的过程中，先把原始信号做了周期延拓。也就是说我们实际是只是找了一个由很多离散频率分量的sin、cos函数在这个时间区间内合成出了你的信号，这显然会存在问题，如果一段信号在不同时间由不同的频率分量组成，那该怎么办，那我们这种做法显然就不是很合理嘛。那该怎么办呢？

我们把时间分成一段一段，每段看看频谱，哪个时间段频谱突然变化的很厉害一定有新的信号进来了。但是你怎么确定时间划分多细呢，你只能做实验，成本就很高。要是有一种既能考虑时间，又能考虑频率变化的方式就好了。真正造成这种情况的实际上是我们傅里叶变换实际上是把信号变成了正弦和余弦的组合，那整个时间轴上都是一样的，要是有一种信号只在一小段内是某个频率的信号，在别的时间段就大幅度衰减，用这种信号不是能很好的表现频谱时间上的变化吗，有此小波变换登场了。