拓扑排序

背景

在一些游戏中，有科技树之类的设定。譬如必须要先点“煤炭采集”的科技点，再点“煤化工”和“蒸汽机”的科技点，在“蒸汽机”的科技点上，再点“火车”的科技点。在“煤化工”和“蒸汽机”的基础上，才有“有机化工”。
其实与其说是“科技树”，不如说是“科技图”，因为有时候一个科技点需要多个前置科技点，这是符合“图”的拓扑关系，是一个有向无环图。

科技树示意图

那我们一个按照什么顺序解锁这些科技点呢？这就需要“拓扑排序”（Topological order）。

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算法

拓扑排序的算法同样分为广度优先搜索和深度优先搜索。

广度优先搜索

广度优先搜索比较直观，并且得到的结果就是拓扑排序的结果。

1. 首先，找到入度为 0 的结点，先访问这个结点。（即找到没有前置条件的科技点，先解锁这个。）
2. 去除掉这个结点，以及它相关的边。（点完这个科技点了，其余相关的入度 -1。）

如此循环往复。

深度优先搜索

深度优先搜索要求每个结点有三种状态，分别是「未访问」「访问中」和「已访问」。

每一轮搜索时，任意选取一个「未访问」的节点 u，从节点 u 开始深度优先搜索。将节点 u 的状态更新为「访问中」，对于每个与节点 u 相邻的节点 v，判断节点 v 的状态，执行如下操作：
如果节点 v 的状态是「未访问」，则继续搜索节点 vv；
如果节点 v 的状态是「访问中」，则找到有向图中的环，因此不存在拓扑排序；
如果节点 v 的状态是「已访问」，则节点 v 已经搜索完成并入栈，节点 u 尚未入栈，因此节点 u 的拓扑顺序一定在节点 v 的前面，不需要执行任何操作。
当节点 u 的所有相邻节点的状态都是「已访问」时，将节点 u 的状态更新为「已访问」，并将节点 u 入栈。
https://leetcode.cn/problems/Jf1JuT/solution/wai-xing-wen-zi-dian-by-leetcode-solutio-to66/

习题

207. 课程表

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。
在选修某些课程之前需要一些先修课程。先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程 bi 。
判断其能否上完所有课程。
这是典型的拓扑排序问题。

class Solution:
    def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites) -> bool:
        # 构造邻接表table和每门课的入度
        table = [[] for _ in range(numCourses)] # 邻接表
        indegress = [0] * numCourses # 入度
        for prere in prerequisites:
            table[prere[0]].append(prere[1])
            indegress[prere[1]] += 1

        queue = deque()
        ans = []
        # 找到入度为 0 的结点
        for i in range(numCourses):
            if indegress[i] == 0:
                queue.append(i)
        
        # 开始 BFS
        count_vis = 0
        while queue:
            cur = queue.popleft()
            count_vis += 1
            for next in table[cur]:
                indegress[next] -= 1
                # 新的入度为 0 的结点
                if indegress[next] == 0:
                    queue.append(next)
                    
        return count_vis == numCourses

851. 喧闹和富有

还是拓扑排序，边是从更富有的人指向比它穷的人。

class Solution:
    def loudAndRich(self, richer, quiet):
        # 构建邻接表和入度表
        length = len(quiet)
        table = [[] for _ in range(length)]
        indegree = [0] * length
        for r in richer:
            table[r[0]].append(r[1])
            indegree[r[1]] += 1

        # 找到入度为 0 的人
        queue = deque()
        for i in range(length):
            if indegree[i] == 0:
                queue.append(i)

        # 开始 BFS
        ans = list(range(length))
        while queue:
            cur = queue.popleft()
            for next in table[cur]:
                if quiet[ans[next]] > quiet[ans[cur]]:
                    ans[next] = ans[cur]
                indegree[next] -= 1
                if indegree[next] == 0:
                    queue.append(next)
        return ans