2021-07-28-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 几个著名的数论定理 P045 例1）
设是给定的素数.证明:数列中有无穷多个项被整除.
证明
时结论显然成立.
设,则由费马小定理得,从而对任意正整数有
.(1)
我们取,则由(1),得
.
因此,若,则被整除(为任意正整数),故数列中有无穷多项被力整除.
2021-07-28-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 几个著名的数论定理 P045 例2）
证明:数列中有无穷多个合数.
证明
因是素数,由费马小定理知,,故对任意正整数,有,从而
.
这表明,个组成的数被整除,这数乘以后再加上,也被整除,即数列中第项被整除,故它不是素数,从而上述的数列中有无穷多个合数.
2021-07-28-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 几个著名的数论定理 P046 例3）
证明:对任意给定的正整数,均有连续个正整数,其中每一个都有大于的平方因子.
证明
由于素数有无穷多个,我们可取出个互不相同的素数,而考虑同余式组
.
因显然两两互素,故由中国剩余定理知,上述同余式组有正整数解,于是,连续个数分别被平方数整除.
若不直接使用素数,也可采用下面的变异的方法.由于费马数两两互素),故将中的换为后,相应的同余式组也有解,同样导出证明.
2021-07-28-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 几个著名的数论定理 P046 例4）
(1)证明:对任意正整数,存在连续个正整数,其中每一个都不是幂数;
(2)证明:存在无穷多个互不相同的正整数,它们及它们中任意多个不同数的和均不是幂数.
证明
(1)我们证明,存在连续个正整数,其中每一个数都至少有一个素因子,在这个数的标准分解中仅出现一次,从而这个数不是幂数.
由于素数有无穷多个,故可取个互不相同的素数.考虑同余式组
.(1)
因两两互素,故由中国剩余定理知,上述同余式组有正整数解.对,因,故;但由(1)可知,即在的标准分解中恰出现一次,故都不是幂数.
(2)我们归纳构作一个由非幂数的正整数组成的(严格增的)无穷数列,使得对每个,数中任意多个的和均不是幂数,由此即证明了(2)中的结论.
首先,可取为任一个非幂数的数,例如取.设已确定,我们证明,可选择不是幂数,,,且与中任意多个数的和均不是幂数.
设是由产生的所有不同项的和,这里.由于素数有无穷多个,故可取个不同素数,,考虑同余式组
,.(2)
因两两互素,故同余式组(2)有无穷个正整数解任取一个大于的解,记为.则由知,被整除,但,故不是幂数.又表明,被整除但不被整除,从而对每个,数均不是幂数.由此就递推地构作了一个符合前述要求的无穷数列,.证毕.
2021-07-28-05
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 几个著名的数论定理 P047 例5）
给定正整数,设是使能被整除的最小正整数.证明:当且仅当为的幂时有f.
证明
问题的前一半甚为容易.如果,则一方面
被整除.另一方面,若,则
不被整除,这是因为和中有一个是奇数,而另一个不超过,因而不被整除.综合上述两个方面,即知.
现在设不是的方幂,即,其中,为奇数.我们证明,存在正整数,使得,且,于是
被整除,因而.
为证明上面的断言,我们考虑
.(1)
因为,故由中国剩余定理知,同余式组(1)必有解,并且其全部解为,即.因此可确定一个满足(1),且.进一步,由(1)中第二个同余式知.而由第一个同余式可见,因此实际上.这证明了存在满足要求的.
2021-07-28-06
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 几个著名的数论定理 P048 例6）
设是一个整系数多项式,是给定的非零整数,具有下面的性质:对任意整数,数被中的一个整除.证明:存在一个,使得对所有整数,均被整除.
证明
若中有一个数为,则结论显然成立.以下设每个.假设结论不对,则对每个均相应地有一个整数,使得..我们将由此作出一个整数,使得所有均不整除,这将与已知条件矛盾.
对,因为,故有一个素数幂,使得,但.若中有同一个素数的幂,则仅留下一个幂次最低的,而将那些高次(及同次)幂删去.经过这种手续,不妨设剩下的素数幂为,则它们两两互素,故由中国剩余定理知,同余式组
(1)
有整数解.
由于是整系数多项式,故由(1)可知
.
对于,由于,故由上式知,更有,而对于,由前面的手续及假设知,每个等于某一个,且.因此由,推出,进而.因此不被中的任一个整除,这与问题中的条件相违.从而本题的结论成立.证毕.
2021-07-28-07
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 几个著名的数论定理 P049 习题1）
设为奇素数,.证明:.
证明
由条件可得
.(1)
因素数,故由费马小定理得.结合(1)推出,从而.再由条件知,所以
2021-07-28-08
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 几个著名的数论定理 P049 习题2）
设,是给定的正整数.证明:有无穷多个正整数,使得数都是合数.
证明
显然,故有素数整除.取,,则对,若,由费马小定理知
.
若上式显然也成立.因此
,
又显然大于故它是一个合数.因此上述选取的符合要求,这显然有无穷多个.
2021-07-28-09
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 几个著名的数论定理 P049 习题3）
设、为正整数,且,具有性质:等式
对所有正整数成立.证明:,是一个非负整数.
证明
设,,其中,为非负整数,,为不被整除的正整数.
我们证明必有,由此即知.若,无妨设.
因,故由中国剩余定理,有正整数,使得
,(1)
即(为某个正整数).由(1)易知,但,这与条件相违,故必须.