布尔值数组的状态压缩

今天做一个LeetCode题发现一个小技巧,特来与你们分享一下。

做的LeetCode题是关于二维矩阵的图论建模,像下面这样的:

图论建模

二维矩阵可以不产生一个图结构,直接在二维矩阵上计算。相应地,会设定一个布尔值数组visited[ i ] [ j ],表示某一个位置是否被遍历,true表示被遍历,false表示未被遍历。

我们首先看看图论建模是如何建模的, 二维数组会有两个索引下标i和j,分别对阵为行和列。我们会设定一个常量C,而这个常量正是列的长度,即nums[i].length。

对二维矩阵每一个位置都可以用 i * C + j 表示,如下图:

代号

如果图结构想转换成二维矩阵也可以这样表示,假设图结构的一个节点的键为g,位于二维矩阵的,第几行用 g / C 表示,第几列用 g % C 表示。

i = g / C; // 获得第几行
j = g % C; // 获得第几列

三维矩阵也是通过这样的方式进行图论建模,会设定两个常量,一个是 j 的长度,另一个是 i 和 j 的面积。这里就不进行多介绍了,因为本篇介绍布尔值数组压缩状态的小技巧,再讲三维矩阵的图论建模就偏了,了解二维矩阵就好了。

在进行二维矩阵的图论建模中,如果不转成图形结构,直接在二维矩阵上计算,我们会设定一个布尔类型的二维数组visited,数组的值表示图的某个节点是否遍历过。

接着我们可以把true看作是1,false看作是0,然后转成一维数组,如下表示:

[
 0 0 0 0 0
 0 0 0 0 0   =>   [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
 0 0 0 0 0
]

然后可以把这看作是二进制,将一维数组直接转成一个数字。

最重要的是,转成了一个数字,如何查看某个节点是否被遍历过,又如何将某个节点设成0和1。

我们可以这样做,假设visited一维数组为[0 0 0 1 0],表示第3位已经遍历过,转成二进制表示为0b01000,转成十进制表示为8。

我们看第0位是否是0,将visited与0b00001进行与运算,返回结果,如果结果为0说明没有遍历过;如果结果不为0遍历过。

  0b01000
& 0b00001
----------   =>   8 & (2^0) = 0
  0b00000

我们看第3位是否是0,将visited与0b01000进行与运算,返回结果。

  0b01000
& 0b01000
----------   =>   8 & (2^3) = 8
  0b01000

可以总结为:

visited & (2^i) == 0 ? 未遍历过 : 遍历过; // visited表示一个数字,i 表示第几位

2^i 也可以用 1<

那如何将某个节点设成1或0呢?

我们将第1位设为1,表示第1位刚遍历过,

  0b01000
+ 0b00010
----------   =>   8 + (2^1) = 10
  0b01010
  
注意:要提前判断第1位是否为1,如果不是可以设为1,如果是则忽略。

将第2位设为1,表示第2位刚遍历过,

  0b01010
+ 0b00100
----------   =>   10 + (2^2) = 14
  0b01110

可以总结为:

// 如果第i位为0,设为1:
if(visited & (2^i) == 0) // visited表示一个数字,i 表示第几位
    visited += 2^i;
    
// 2^i 也可以用 1<

同理,将第i为设为0,可以总结为:

// 如果第i位为1,设为0:
if(visited & (2^i) != 0) // visited表示一个数字,i 表示第几位
    visited -= 2^i;
    
// 2^i 也可以用 1<

举一反三,学会了二进制数组压缩成一个数字的状态,多进制数组也同样可以压缩状态,只需要找到最大的那个数就可以了。

如果找到最大的数为5,那就成六进制;如果找到最大的数为25,那就成二十六进制。如果数字确实比较大,也可以考虑最小的数,进行一一映射。

通过这样的状态压缩,很多指数级别的空间复杂度直接降为O(1),省空间了。

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