高中奥数 2021-07-18

2021-07-18-01

(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P002 例1)

证明:被整除.

证明

当为奇数时,

由得

,

所以,整除.

2021-07-18-02

(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P002 例2)

设,证明:.

证明

若是正整数,则

.

令,,则相当于上式中的.

即可得

所以

又

从而.

于是由整除的传递性可得.

2021-07-18-02

(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P002 例3)

对正整数,记为的十进制表示中数码之和.证明:的充分必要条件是.

证明

设

(这里,且),

则.我们有

.(*)

对,由分解式(5)知,故(*)式右端个加项中的每个都是的倍数,从而由整除关于加、减法的运算封闭性知,它们的和也被整除,即由此易推出结论的两个方面.

2021-07-18-04

(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P003 例4)

设是一个奇数,证明:对任意正整数,数不能被整除.

证明

设

当时,,结论成立.

当时,

因为为正奇数,.

所以对每个,数被整除,故被整除.

因为,从而不能被整除,所以不能被整除.

2021-07-18-05

(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P003 例5)

设、为正整数,,证明:.

证明

首先,当时,易知结论成立.

事实上,时,结论平凡;时,结果可由推出来(注意,并参看整除性质(3)).

最后,的情形可化为上述特殊情形:

由带余除法,,,而.

由于,

由分解式(5)知;

而,故由上面证明了的结论知.

(注意时,结论平凡.)

从而当时也有.这就证明了本题结论.

2021-07-18-06

(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P004 例6)

任给,证明:有正整数,使得中所有数均被整除.

证明

若是奇数,则均是奇数,

从而由(6)知,

均有因子.

因此取则符合问题中的要求.

2021-07-18-07

(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P004 例7)

任给,证明:存在个互不相同的正整数,其中任意两个的和,整除这个数的积.

证明

任取个互不相同的正整数,并选取一个(正整数)参数,希望的积被任意两项的和;整除(,).

由于,显然,取

即符合要求(注意互不相同).

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