2021-07-18-01
(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P002 例1)
证明:被整除.
证明
当为奇数时,
由得
,
所以,整除.
2021-07-18-02
(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P002 例2)
设,证明:.
证明
若是正整数,则
.
令,,则相当于上式中的.
即可得
所以
又
从而.
于是由整除的传递性可得.
2021-07-18-02
(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P002 例3)
对正整数,记为的十进制表示中数码之和.证明:的充分必要条件是.
证明
设
(这里,且),
则.我们有
.(*)
对,由分解式(5)知,故(*)式右端个加项中的每个都是的倍数,从而由整除关于加、减法的运算封闭性知,它们的和也被整除,即由此易推出结论的两个方面.
2021-07-18-04
(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P003 例4)
设是一个奇数,证明:对任意正整数,数不能被整除.
证明
设
当时,,结论成立.
当时,
因为为正奇数,.
所以对每个,数被整除,故被整除.
因为,从而不能被整除,所以不能被整除.
2021-07-18-05
(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P003 例5)
设、为正整数,,证明:.
证明
首先,当时,易知结论成立.
事实上,时,结论平凡;时,结果可由推出来(注意,并参看整除性质(3)).
最后,的情形可化为上述特殊情形:
由带余除法,,,而.
由于,
由分解式(5)知;
而,故由上面证明了的结论知.
(注意时,结论平凡.)
从而当时也有.这就证明了本题结论.
2021-07-18-06
(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P004 例6)
任给,证明:有正整数,使得中所有数均被整除.
证明
若是奇数,则均是奇数,
从而由(6)知,
均有因子.
因此取则符合问题中的要求.
2021-07-18-07
(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P004 例7)
任给,证明:存在个互不相同的正整数,其中任意两个的和,整除这个数的积.
证明
任取个互不相同的正整数,并选取一个(正整数)参数,希望的积被任意两项的和;整除(,).
由于,显然,取
即符合要求(注意互不相同).
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