射影几何 -- 平面射影几何 1

齐次坐标

 

令：

则，方程：axt + byt + ct = 0可写为：

其中 p 是变量，表示直线上的点；l 是一个固定的向量，代表该直线

 

p  称为点的齐次坐标， l  称为直线的齐次坐标

 

齐次坐标可以相差任意的非零常数因子，即 ∀ s ≠ 0 , p 和 q = s p 表示同一个点，因为它们的非 齐次坐标相等

 

齐次坐标为 的点称为无穷远点，其中 x , y 至少有一个不为零。 无穷远点没有欧氏坐标

平面上所有无穷远点所构成的集合称为无穷远直线。

无穷远直线的齐次坐标为

 

三维向量的叉积：

 

如果 是射影平面上两点，则 表示通过这两点的直线。

 

（1）两点 连线的坐标是 ；

（2）三点 共线的充要条件是

 

 

对偶原理：  在射影平面内，点和线是一对互为对偶元素。在包含“点”和“线”元素的命题中，

如果将两个元素的角色互换，则对应的命题也成立，并称它们是一对互为对偶命题。

 

共线点、共点线的交比

共线点 1 2 3 4 p , p , p , p 交比不依赖于点参数化的选择，或者说不依赖于直线坐标系的

选择。

 

 

 

 

 

 

二次曲线

C是一个对称矩阵

 

射影平面上的 5 个点唯一确定一条二次曲线

 

二次曲线根据它的秩（即 C 的秩）是否是满秩分为非退化与退化的两种情况。非退化二次曲线是正常二次曲线，退化二次曲线或者是由两条直线所构成 (rank C =2)，或者由二条重合直线所构 (rank C =1) 。

 

 

如果二次曲线 C 退化为两条直线 l 与 m，则它的矩阵表示为：

 

切线：

令 p 是 C 上的任一点，则 l = C p 确定平面上的一条直线，直线 l 是 C 在点 p 处的切线直线 l 为非退化二次曲线 C 的切线当仅当

 

对于非退化二次曲线 C 外部任一点 p ，过点 p 的两条切线 l 与 m 所构成的退化二次 曲线的矩阵表示是

 

配极对应
给定一条二次曲线 C，则对平面上的任一点 p，l=Cp 确定了一条直线。直线 l 称为点 p 关于 C 的极线，而点 p 称为直线 l 关于 C 的极点。如果点 p 在 C 上，则它关于 C 的极线是通过它的切线 l，
而切线 l 关于 C 的极点是切点 p。

由二次曲线所确定的这种点与直线之间的对应关系称为二次曲线的配极对应。可以证明：非退化二次曲线的配极对应是点与直线之间的一一对应。
几何描述： p 关于非退化二次曲线 C 的极线 l=Cp 交 C 于两个点，且 C 在这两个交点的切线交于点 p。

共轭点 
如果两个点 p, q 使得  ，则称点 p, q 关于 C 互为共轭。不难看出点 p 关于 C 的所有共轭点所构成的集合是点 p 关于 C 的极线。

若点 p ， q 关于二次曲线 C 是一对共轭点，直线 l=p × q 交 C 于两点 ，如下图，则

 

 

自极三角形 ： 如果一个三角形的三个顶点都是其对边关于二次曲线 C 的极点，则称它为 C 的自

极三角形。例如：二次曲线上的四点构成的完全四点形的对边三角形是该二次曲线的自极三角形。

 

 

 

对偶二次曲线：

平面上的点与直线构成一对互为对偶元素。

将二次曲线方程 中的点元素换成线元素， 矩阵 C 也换成对偶形式 C*，则我们得到线元素的二次方程 ，其中 C * 是对称矩阵，它是矩阵 C 的对偶。

 

表示射影平面内的一条二次曲线，这条二次曲线 C*是由直线生成的。由直线生成 的二次曲线通常称为对偶二次曲线。在几何上，对偶二次曲线是直线族的包络，即 C *的几何元素是 二次曲线的切线。

 

二次曲线与其对偶二次曲线之间的关系

非退化情况 射影平面上任一条 ( 点 ) 二次曲线 C ，都可以作为其切线的包络，即同时可用 ( 线 )二 次曲线来表示，记为 C* ，并称 C 与 C * 互为对偶。

对于 C 上的 任一点 p ，该点的切线为 l = Cp。由于 C 是满秩的，所以有 ，又因切点必在切线上，即 ，于是 ，因此 。另外，还可以证明 ( C *)*= C 。

即：非退化二次曲线 C 与其对偶 C* 之间的关系是 ，并且 ( C *)*= C

 

对于退化情况：

 ( C *)* ≠ C

 

圆环点及其对偶

 

圆环点可以看作是平面上的一条 ( 退化 ) 二次曲线。

在平面上，圆环点必须用两个方程 来表示。如果限制在无穷远直线上，即，论域是无穷远直线而不是整个平面，则圆环点可由单个方 程： 来表达，它的矩阵表示是一个 2 阶单位矩阵。

 

 

( 拉格尔定理 ) 设两条非迷向直线的夹角为 θ ，并且这两条直线与过它们交点以 i ， − i  为斜率的两条迷向直线所成的交比为 µ ，则必有