【离散数学笔记】良序原理（The Well Ordering Principle）

参考：MIT教材《Mathematics for Computer Science》

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良序原理：

Every nonempty set of nonnegative integers has a smallest element.
每个非空的自然数集都有最小的元素。

注意：
(1) 要求集合非空——空集没有最小的元素。
(2) 要求自然数——负整数是不行的，非负有理数也是不行的。例如非负有理数集合$S=\left\{\frac{1}{n}|n\in N^{\ast }\right\}$就没有最小的元素。

良序原理揭示了自然数的某些特殊性质。它看起来很显然，似乎没有什么作用，但在离散数学有关的证明中至关重要。

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例 证明：$\sqrt{2}$是无理数。
证明：若$\sqrt{2}$是有理数，则$\exists p,q\in N^{\ast }$使得$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$且$\frac{p}{q}$是最简分式。即$2=\frac{p^2}{q^2},p^2=2q^2$。由于$p$是完全平方数，$p$一定是$4$的倍数。那么$q$一定是$2$的倍数，故$2$是$p,q$的公因子，与$\frac{p}{q}$是最简分式。故$\sqrt{2}$是无理数。

在上面的证明中我们假定对于任何正整数$m,n$，$\frac{m}{n}$一定可以写成最简分式$\frac{m^{\prime }}{n^{\prime }}$使得$m^{\prime },n^{\prime }$互质。怎么证明这个结论呢？

假设$\exists m,n$使得$\frac{m}{n}$不能写成最简分式。令集合$C=\left\{p|\frac{p}{q}\text{不能写成最简分式}\right\}$，即所有不能写成最简分式的分式的分子。则$m\in C$，故$C$非空。那么，根据良序原理，$\exists m_0\in C$为$C$中最小的元素。根据$C$的定义，$\exists n_0$使得$\frac{m_0}{n_0}$不能写成最简分式，于是$m_0,n_0$一定拥有一个公共质因数$p>1$。但是$\frac{m_0/p}{n_0/p}=\frac{m_0}{n_0}$，所以如果左边的分式能化为最简分式，$\frac{m_0}{n_0}$也一定可以。这说明左边的分式也不能化成最简分式。所以$m_0/p\in C$。但$m_0/p<m_0$，与$m_0$为$C$中最小的元素矛盾，故$C$为空集，假设不成立。证毕。

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利用良序原理证明结论的模板：

证明$\forall n\in N,P(n)$成立：

• 令$C=\{n|P(n)\text{不成立}\}$。
• 假设$C$非空。
• 根据良序原理，$\exists n_0\in C$为$C$中最小的元素。
• 推出矛盾——一般通过说明$P(n_0)$为真或者$C$中有比$n_0$更小的元素。
• 得出结论：$C$一定是空集，就是说，没有反例存在。

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例 证明：$\forall n\in N,\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$。
证明：令$C=\left\{n|\sum _{i=1}^{n}i\ne \frac{n(n+1)}{2}\right\}$，假设$C$非空，则$\exists c\in C$为$C$中最小的元素。因为$c$最小，故$\forall n<c$且$n\in N$，$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$。又$n=0$时成立，故$c>0,c-1\in N$。因此对$c-1$成立。而$\sum _{i=1}^{c-1}i=\frac{c(c-1)}{2}$，两边同时加$c$得$\sum _{i=1}^{c}i=\frac{c(c+1)}{2}$，则对$c$也成立，故假设不成立，$C$为空集。

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例 证明：每个大于$1$的正整数都可以分解为若干个质数的乘积。
证明：记$P(n)=\{\begin{array}{l}1,\text{若}n\text{可以分解为若干个质数的乘积}\\ 0,\text{若}n\text{不能分解为若干个质数的乘积}\end{array}$。令$C=\{n|P(n)=0,n\in N,n>1\}$。假设$C$非空，则$\exists c\in C$为$C$中最小的元素。显然$c$不是质数，否则它自己就可以表示为一个长度为$1$的乘积式。所以$c=a\times b$，$a,b\in N$。因为$a,b<c$，故$a,b\notin C$。那么，$a,b$都可以写为若干个质数的乘积，因此$c$也可以写为若干个质数的乘积，与$c\in C$矛盾。故$C$为空集。

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定理 设$n$是非负整数，一个整数集合$S$如果满足每个元素都大于等于$-n$，那么$S$是良序集。
证明：令$S^{\prime }=\{s+n|s\in S\}$。则$S^{\prime }$是非负整数集，由良序原理知$S^{\prime }$有最小元$m$，则$S$的最小元为$m-n$。

定义 一个集合$A$为良序集，当且仅当其每个子集都有一个最小的元素。
定义 一个数$b$是由实数构成的集合$S$的一个下界，当且仅当$\forall s\in S,b\le S$。
定义 一个数$b$是由实数构成的集合$S$的一个上界，当且仅当$\forall s\in S,b\ge S$。
推论 任何有下界的整数集是良序集。
证明：令$b$是整数集$S$的下界，则$n=\lfloor b\rfloor$也是$S$的下界，根据良序原理和上面的定理就可以得出$S$是良序集。
推论 任何有上界的整数集有最大元。
证明：对有上界$b$的整数集$S$，取$S^{\prime }=\{-s|s\in S\}$，再由上面的推论易知其成立。

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