高中奥数 2021-08-04

2021-08-04-01

(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(二) P066 例4)

设,是个实数,它们的积记为.若对,数都是奇整数.证明:每一个都是无理数.

证明

反证法,若有一个使得为有理数,则因为奇整数,所以必是一个有理数.记.则由,得出

.(1)

由于均是(奇)整数,从而满足了一个首项系数为的整系数方程,故有理数必是一个整数.但另一方面,无论是奇数或偶数,易知(1)式左、右两边的奇偶性都不同,从而(1)决不能成立,矛盾!故每个都是无理数.

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(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(二) P066 例5)

设为整数,.证明:有无穷多个正整数,使得不是完全平方数.

证明

我们证明,对任意正整数,四个整数中至少有一个不是完全平方,由此便证明了问题中的结论.

易知

消去、得

.

因此,或者,或者.因为完全平方数模同余于或,故或者与中至少有一个非平方数,或者与中至少有一个非平方数,从而,,,中至少有一个不是完全平方.

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(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(二) P066 例6)

设是一个整系数多项式,对任意有.定义,,,.若对于任意正整数,数列中均有被整除的项.证明.

证明

我们分两步进行.首先证明,对任一个固定的,数列模是周期数列.显然.因是整系数多项式,故对任意整数、有,即

,

在上式中取,,得.依此类推,,,,可知模是周期数列.

第二步,我们证明

.(1)

由已知条件,对于数,存在使得而由上一段的结论,可设,此外,,故,所以必须为,即,于是,,综合起来即知(1)式成立.

因为(1)即是.由于是任意大于的整数,这意味着有无穷多个不同的根,故必须恒等于多项式.这就证明了本题的结论.

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(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(二) P067 例7)

设是一个实系数的二次多项式,若对所有正整数,均是整数的平方.证明,是一次整系数多项式的平方.

证明

设,则易知

\begin{aligned} \sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{n-1}} &=\frac{a_{n}-a_{n-1}}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n-1}}} \\ &=\frac{2 a n-a+b}{\sqrt{a n^{2}+b n+c}+\sqrt{a n^{2}+(-2 a+b) n+a-b+c}} \\ &=\frac{2 a+\frac{b-a}{n}}{\sqrt{a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^{2}}}+\sqrt{a+\frac{b-2 a}{n}+\frac{a-b+c}{n^{2}}}} . \end{aligned}

因此当时,有极限,且极限值为.但已知都是整数,故是一个整数数列,因此其极限值必是一个整数,且充分大后,所有项都等于极限,即有一个(固定的)正整数使得

,对.

现在设是大于的任一个整数,将上式对求和,得出,即

(1)

记,,则、都是与无关的固定整数,于是,(1)表明,所有大于的整数都是多项式

的根,从而这多项式必是零多项式,即.

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