2021-08-04-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(二) P066 例4）
设,是个实数,它们的积记为.若对,数都是奇整数.证明:每一个都是无理数.
证明
反证法,若有一个使得为有理数,则因为奇整数,所以必是一个有理数.记.则由,得出
.(1)
由于均是(奇)整数,从而满足了一个首项系数为的整系数方程,故有理数必是一个整数.但另一方面,无论是奇数或偶数,易知(1)式左、右两边的奇偶性都不同,从而(1)决不能成立,矛盾!故每个都是无理数.
2021-08-04-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(二) P066 例5）
设为整数,.证明:有无穷多个正整数,使得不是完全平方数.
证明
我们证明,对任意正整数,四个整数中至少有一个不是完全平方,由此便证明了问题中的结论.
易知
消去、得
.
因此,或者,或者.因为完全平方数模同余于或,故或者与中至少有一个非平方数,或者与中至少有一个非平方数,从而,,,中至少有一个不是完全平方.
2021-08-04-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(二) P066 例6）
设是一个整系数多项式,对任意有.定义,,,.若对于任意正整数,数列中均有被整除的项.证明.
证明
我们分两步进行.首先证明,对任一个固定的,数列模是周期数列.显然.因是整系数多项式,故对任意整数、有,即
,
在上式中取,,得.依此类推,,,,可知模是周期数列.
第二步,我们证明
.(1)
由已知条件,对于数,存在使得而由上一段的结论,可设,此外,,故,所以必须为,即,于是,,综合起来即知(1)式成立.
因为(1)即是.由于是任意大于的整数,这意味着有无穷多个不同的根,故必须恒等于多项式.这就证明了本题的结论.
2021-08-04-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(二) P067 例7）
设是一个实系数的二次多项式,若对所有正整数,均是整数的平方.证明,是一次整系数多项式的平方.
证明
设,则易知
因此当时,有极限,且极限值为.但已知都是整数,故是一个整数数列,因此其极限值必是一个整数,且充分大后,所有项都等于极限,即有一个(固定的)正整数使得
,对.
现在设是大于的任一个整数,将上式对求和,得出,即
(1)
记,,则、都是与无关的固定整数,于是,(1)表明,所有大于的整数都是多项式
的根,从而这多项式必是零多项式,即.