图论——染色法判定二分图

  首先明确概念:

  二分图:设G=(V,E)是一个无向图,如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B),并且图中的每条边(i,j)所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B),则称图G为一个二分图。

  奇数环:一个图中边数为奇数的环。

  染色法原理:

  首先任意取出一个顶点进行染色,和该节点相邻的点有三种情况:

  1.如果未染色,那么继续染色此节点(染为另一种颜色)

  2.如果已染色但和当前节点颜色不同,则跳过该点

  3.如果已染色并且和当前节点颜色相同,返回失败(该图不是二分图)

  明确二分图、奇数环、染色法之间的关系:

  如果一个图中存在奇数环,那么这个图一定不是二分图;这一点显然成立。

  如果一个图中不存在奇数环,那么这个图一定是二分图:

  证明:用染色法。从某个点开始逐层交叉染色,在染色过程中:

    若发现有某条边的两个端点着色相同,则必定存在奇数环①,与题意相矛盾。

    若没有发现,则根据染色法原理,每一条边的两端着色必然不同,那么根据二分图的定义,就可知这个图是一个二分图。

    ①的证明:

      不妨设这条边的两个端点着色都为1,且这两点必然是由同一个源点扩展而来。那么根据染色法原理,因为这两个点的着色相同,那么从源点到这两个点所经过的边数(假设分别为x和y)的奇偶性必然相同,那么这个环的总边数为x+y+1,由数学知识得这个数必然是奇数。 

    证毕!

  模板题链接:染色法判定二分图

  代码如下:

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 100010, M = 200010;
struct Edge{
    int to,next;
}edge[M];int cnt;
int n,m;
int h[N],color[N];

void add_edge(int u,int v)
{
    edge[++cnt].to=v;
    edge[cnt].next=h[u];
    h[u]=cnt;
}

bool dfs(int u,int c)
{
    color[u]=c;
    for(int i=h[u]; ~ i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if(color[to]==c)
        {
            return false;
        }
        else if(!color[to]&&!dfs(to,3-c))return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
        add_edge(a,b);add_edge(b,a);
    }
    bool flag=true;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!color[i])
        {
            if(!dfs(i,1))
            {
                flag=false;
                break;
            }
        }
    }
    if(flag)printf("Yes\n");
    else printf("No\n");
}

 

转载于:https://www.cnblogs.com/ninedream/p/11203942.html

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