高等数学 武忠祥强化班

武忠祥强化班1:函数

1、单调性

函数导数与函数单调性
1.函数导数大于零$=>$函数单调增
——每一点的导数都大于零，每一点的左边小右边大，所以函数单调增

2.函数单调增$\ne >$函数导数大于零
——某些点的没单调性不影响函数的单调性，举例：x^3

3.函数导数大于等于零$<=>$函数单调不减

3.某点导数与这点邻域单调性
一点导数大于零不能推邻域单调性
——这点比左边大，比右边小

2、有界性

函数在闭区间连续$=>$函数在闭区间有界
函数在开区间连续$\ne >$函数在闭区间有界——$\frac{1}{x}$在（0,1）开区间上
函数在开区间连续，左端点的右极限存在，右端点的左极限存在$=>$函数在闭区间有界

3、函数、导函数、原函数

3.1、函数与导函数

单调性：不相关
奇偶性：可导奇函数求导是偶函数，可导偶函数求导是奇函数
周期性：可导周期函数的导函数是周期函数
有界性：可导函数有界，导函数不一定有界（例：$\sqrt{(}x)$）

3.2、导函数与原函数

连续函数一定有原函数，变上限积分证明！
单调性：不相关
奇偶性：连续偶函数的原函数不一定是奇函数，连续奇函数的原函数是偶函数
周期性：连续周期函数的原函数不一定是周期函数，除非此周期函数在一个周期上的积分为0
有界性：
导函数在有限区间上有界$=>$原函数在该区间有界——不是有限区间不行（1与x），开区间可以
导函数在有限区间上连续$\ne >$原函数在该区间有界——例：1/x在（0,1）连续，原函数无界

武忠祥强化班2：极限

数列极限
单调有界准则：前有限项不单调不影响，只有后面单调即可
原数列极限为A<=>奇数列和偶数列极限都是A

函数极限
在一点的极限与在一点函数值不同，极限值与函数值相等则连续
分左右极限：分段函数分界点、$e^{\infty }、arctan\infty$

极限性质
局部有界性：
在一点的极限存在$=>(<\ne )$在一点的去心邻域内有界
举例：$sin\frac{1}{x}在0点极限不存在，但有界$
保号性：
极限大于0$=>$函数存在邻域大于0
函数存在邻域大于等于0$=>$极限大于等于0

极限存在准则
夹逼准则：前有限项可以不满足不等式（n项和题型）
单调有界：单调有界数列必有极限（递推关系题型）

无穷小：高阶、同阶、等价
无穷大：对数<幂函数<指数 无穷大（都很大）$=>(<\ne )$无界变量（有很大）
无穷大导数是无穷小，无穷小量（不为0）的倒数是无穷大

高等数学上
证明不等式与等式
变形也是第一步
1.用泰勒公式证明大小关系
当出现e的三角函数次方积分时是肯定算不出来的，并且又是证明大小关系肯定要用泰勒公式。
用泰勒公式展开成无数项
证明比什么大:取前面几项就能
证明比什么小的话:函数的积分与一个数比较，
对于函数的积分:函数展开——>幂级数，幂级数定积分——>普通级数，
而一个数字也能展开成普通级数(幂级数x取了一个值)，普通级数展开式级数通项可以比较。
2.证明一个含an与Sn的级数的收敛性，还是用正项级数的判定定理——比较判别法，证明收敛只要证明级数通项小于一个级数的通项收敛性好判断的级数。
判断古怪式子的收敛性——前n项的和容易求，
而如果通项是递推式子的话累加就能得到前n项和的式子。
通用判敛法——在n趋向无穷时对于正项级数的前n项和式子为常数(或单调有界性判断极限存在)那么级数收敛。

3.绝对值
绝对值里面是两个式子的乘积可以拆成两个。
常见的积分不等式，积分的绝对值小于等于绝对值的积分。
积分绝对值里面是三角函数，不是说积分区域为正就能去掉绝对值，不要想当然。

将研究不等式的问题转化成研究函数的问题
——第一步就是移项化右边为0并找对x，第二步求导
——用单调性证明不等式，当式子中有x1,x2但是没有x时可以令x1或x2为x，这样求导过后会可能有结果
5.中值定理
一.介值定理，函数连续有一点函数值大，有一点函数值小，那么就存在一点的函数值在两个值中间。
二.罗尔定理求原函数的一种方法一阶线性微分方程的常数C的表达式，若求证等式右边Q(x)=0，那么就是乘以e上面对P(x)积分。
三.求导与分式结合——拉格朗日中值定理。
条件少的不等式要设很多量，连续它就有界，有界就能取到最大最小值，所以设它在某点处取最大值，有导数需要你不断地使用好几次拉格朗日中值定理。
四.积分中值定理
广义的积分中值定理:
内部两个函数，留在里面的函数不变号可积分，出去的要连续，证明了存在一个数使得等式成立。想要内部的不变号可能需要取绝对值。
狭义的积分中值定理:
积分中值定理：f(x)在a到b上的积分等于(a-b)f©，其中c满足a 五.积分形式的柯西不等式
(从a到b的f的平方)乘以(a到b的g的平方)大于等于(从a到b的f乘以g)的平方
分则大合则小
A向量点乘B向量≤|A||B|
(ac+bd)^2≤(a2＋b^2)(c2 + d^2)
[∫(f(x)g(x))dx]^{2≤(∫[f(x)]}2dx)*(∫[g(x)]^2dx)
六.常用不等式


七.与证明存在实根一般与零点定理与介值定理
八.证明一个函数可导，只需证明这个函数等于的东西可导即可，而证明无穷可导又需要使用递推

求极限:
1.极限的保号性，因为在某点的极限如果大于0，那么这个函数在这个点的某一邻域内，即x足够逼近这个点时一定大于0。
2.e的指数幂趋向于0乘上趋向于无穷大的x的常数次方，最终一定趋向于0，因为幂函数永远搞不过指数
3.单调有界证明极限存在，极限不一定是那个有界的界，而是等式两边同时取极限求出来
4.黎曼积分，讲极限与定积分联系在一起
提取1/n，观察有没有连续变化的量，注:连续变化的量可能是正整数乘以一个数而不再是1，那么世界都变了:上限变了不再是1了，x变了不再是k/n，dx变了不再是1/n
5.夹逼准则:
∑放缩成项数(上下限+1)×每一项满足的不等式(用上下限的元素)
5.5黎曼和夹逼可能在一起考哟!
6.通项是递推式
有的需要求极限的式子是通项累加得到的，那么如果通项能化成两个因式的递推就能直接求出要求极限的式子，如:k/(k/1)!是可以拆成1/k!-1
/(k+1)!
7.泰勒公式与洛必达法则极为重要，泰勒公式多写几项写出你能写出的最具体的数值
8.分子分母都是幂函数的比较次数最高的项，注意可能两个幂函数相乘，最高项系数要加在一起。

关于泰勒公式
——就是随便函数一个函数总能展开在它任意一个点的无穷个幂函数的叠加
一.尾巴
一种无穷小量是佩亚诺余项另一种带有δ的展开式，在第n+1项中其中δ在展开的点与x之间叫做拉格朗日余项
二.展开
f(x)在一点处几阶可导那么在这点可展开成多少!
1.f(x)在xo处展开
f(x)=f(xo)+f’(xo)(x-xo)+f’’(a)(x-xo)^2/2!+……
2.f(x)在a处展开
f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)^2/2!+……
注:有变形f(x+a)=f(a)+f’(a)x+f’’(a)x^2/2!+……
这个结构后面神似麦克劳林展开，很有用
3.f(x)在0处展开的是麦克劳林展开
f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’(0)x^2/2!+……
注:(1+x)^{a展开1+ax+a(a-1)/2!x}2+……

求高阶导数:在x0=0处展开麦克劳林(级数)
泰勒公式，知道一般方程泰勒展开到n项的麦克劳林公式，清楚构成这个方程的内部函数的麦克劳林泰勒展开，例如sinx展开到n项，因为等式两边展开到指定项的系数是相同的

连续意义:极限值等于函数值，有上下界，介质定理成立——讨论一个函数在一点的连续性就是要验证在这点的极限值与函数值
一阶导数:单调性
一阶导数为零，二阶导数大于0则凹，小于0则凸

求积分:
1.奇偶性与轮换对称性
关于奇偶性，它需要的是积分区域是偶的对称的，被积函数是奇的，这样’在对称区域积分的值就相反这样的和就为0
也有可能两种变量的范围相同可能只需要把一个变量换成另一个变量也没有影响
2.分部积分运用:
e指数与多项式，e指数往后面拿
e指数与分式，把幂函数往后面拿，但有很多最终目的是让无法积分的项自动消掉了。
3.连续使用分部积分的公式:
上面一行求导，下面一行换元
交叉相乘，先正后负，减去不定积分。
3.二次积分交换积分次序:尤其含e的指数的
被积函数弄到一起不用变
4.积分换元之雅克比:
积分换元之雅克比行列式，二重积分是二阶行列式，三重积分是三阶行列式，并且因为是面积所以要取正，旧的变量放在左边而用新的量的表达式来表达旧的变量，旧的对新的求偏导。
5.变上限积分函数的换元:
积分上限函数被积函数中含有积分上限变量要换
积分中用一个量取代两个量，把上限x当成是常数，核心是用另外一个变量替换原来的被积分变量。
6.小技巧
求原函数的换元一定要回带，还有常数C

微分方程
含原函数与现函数——对等式两边或积分或求导。
颠倒分母与分子变换自变量与因变量。
伯努利方程就是一阶线性的等式右边除了x外还有y的指数次幂，然后令中间的y^1-n成新的量z，这样z的导数就能替换最左边的式子了。

阶数:y最多求了几次导，等于解当中未知常数的个数
线性:导数有没有平方
未知函数是一元函数的是常微分方程，未知函数是多元函数的称为偏微分方程

微分方程种类:
直接颠倒方程自变量与因变量互换
二阶非线性的微分方程有一种求反函数二阶导数的解题方法

可分离变量微分方程
齐次微分方程，令y/x=u,y没有了
一阶线性微分方程:齐次与非齐次
伯努利方程:一阶线性微分方程右边有个y的高阶导数

可降阶微分方程:
只有y的导数与x的式子——不断积分即可
含y’与y’‘与x，但是不含y——令y’(x)为p(x)，则y’’(x)不是为得到p’(x)而是dp/dx。
有y(x)与y’(x)与y’’(x)，但是不含x的(x之后更不能出现)——令y’为p，y’‘为dp/dy×p，其实就是有三个量但只能留两个想办法把y’'用y’与y表达出来而已。

二阶常系数线性微分方程:包含y与y’与y’'与x
非齐次通解=齐次通解加非齐次特解

二阶线性微分方程:标准式右边为0

二阶线性微分方程非齐次:标准式右边不为0
1.当右边是多项式与e的r次方时:设特解x的k次方(r是二重根取2)乘以多项式乘以e的r次方，再带入求特解
2.当右边多项式取e^rx(p1coswx+p2sinwx):
设特解为e^{r×(p1coswx+p2sinwx)×x}k(k次方取决于r与w否是二重根)

根据非齐次的解重新写出微分方程
可以根据右边形式，设特解，带入则可求特解
也可根据特解形式，设右边，带入则可求右边

?为什么只设这一种求出来也是唯一的，拿到非齐次只有一种特解吗，不是说通解那些任意常数

曲率

高等数学下

平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 z 的轨迹叫做柱面.C 叫做准线,l 叫做母线
母线就是旋转的那条边
准线就是母线沿着旋转的曲线
例:
已知母线向量与准线方程求柱面坐标
——设母线上一点课M(x1,y1,z1)，可以根据这个点与母线向量写出直线方程，设参数t，这样x1,y1,z1可以由x,y,z与t表示出来，并且设的这个点M在准线上，带入，消去t
半圆锥面就是圆锥面

重积分应用之转动惯量
质点:转动半径的平方乘质量
平面薄片:密度dxdy乘转动半径的平方，在D上求二重积分
立体图形:密度dxdydz乘转动半径的平方，在欧上三重积分
空间上点到直线的距离是用连接原点与点形成直线，再用点积公式

隐函数求偏导数的F方法:
无论F是二元函数z(x,y)好是三元函数u(x,y,z)都适用
1.在等式上直接求偏导
2.用F求，z对x的偏导数=-Fx’/Fz’

用到F的几个地方:
1.曲面法向量——一定要用F
曲面就是二元函数
2.求梯度的偏导数——
法一:自己求自己的
法二:多元隐函数求偏导数可能会用到F这个外人，负的两个一比得到别人的偏导数

方向导数是一个数值
方向导数的最大值就是梯度的模长
而梯度就是三个偏导数组成的向量，而这些偏导数是因变量对自变量的偏导数。

3.多元函数一般极值——
法一:自己求的是自己的——谁的极值谁就对其它量求偏导得到驻点，u(x，y，z)的极值(例如有xyz三个变量),就是u对三个变量求偏导。
法二:求多元函数驻点可能用到多元隐函数偏导数可能用到F这个外人。

二元函数F(x，y，z)=0即z=z(x，y)的z极值问题
第一步:求一阶偏导数得驻点(两种方式)
一般自己求自己的列出z对x与y的两个偏导数为0的等式
但是隐函数求偏导的可能用到F这个外人
A是z对x的二阶导数，B是先对x再对y偏导
AC-B^2>0时，A>0有极小值，A<0，有极大值
AC-B^2<0，无极值;等于0再讨论
第二步:
和一元函数一样偏导数不存在的点即不可微点(Fz’=0)也可能是最值点(如z=√x^2+y2的极值点就不可微点)

4.条件极值问题——拉格朗日乘数法
这个大F相当于正常函数的因变量z,求的是自己的!
目标函数与约束条件
判断极大值还是极小值用一阶导数的正负变化

参数方程的求导
参数方程一阶导数dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=y’
参数方程二阶导数(dy’/dt)/(dx/dt)

偏导数连续——>可微
可微——>连续——>极限存在
可导——>连续——>极限存在可微与偏导数的关系:
可微，那么偏导数必存在
偏导数存在且连续，那么可微

空间曲线的方程两种:
一种是两个曲面方程的交线
另一种是三个参数方程
x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)
曲线的切向量:参数方程求导
曲线的切线:三个式子相等
曲线的法平面:等式右边是0
eg:
1.曲线是F(x，y，z)=0，G(x，y，z)=0
好像有个超难记得的雅克比公式
2.曲线是F(x，y，z)=0，G(x，y，z)=0
原来用底下有一个方法，求两个曲面在交点的
法向量，而切线的方向向量垂直它们两个。
3.y=y(x)，z=z(x)——加个x=x就是参数方程
4.曲线是F(x，y，z)=0，G(x，y，z)=0
两个方程可得到两个隐函数y=y(x)，z=z(x)，切向量就是(1，y’(x)，z’(x))，但解出导数比解出隐函数简单——曲线的两个方程对x求导，解这个方程组也有个列行列式的小手段，用等式右边替换要求的导数那一列
?这是偏导数还是导数

曲面的方程是z=f(x,y)，F(x，y，z)=0
曲面法向量——一定要用F
n=(Fx’,Fy’,Fz’)|(xo，yo，zo)
如果由z=f(x,y)转化过来F(x，y，z)=f(x,y)-z
Fx’=f’x,Fy’=f’y,Fz’=-1
曲面的法线
曲面切平面
两个曲面相切于同一个点说明拥有相同的法向量
再加上现在曲面上的两个方程

由方程判断曲面
z^2=X2+Y^2——抛物线旋转形成的拋物面
z=√4-X^2-Y2——球面的上半部分
z=√X^2+Y2——折线旋转形成的锥面

三重积分
1.球面第二个变量范围是0-兀。
适用:锥面与球面交
2.柱面，先一后二，一上下限是两个面方程，二是投影的那个圆用二重积分的极坐标方法。
不适用:上下限的方程是变化的
在对球体的三重积分中上下限的z可以用r(替换了x与y)表示，但被积函数是整个球体不满足方程，所以被积函数的z不能替换。
3.切面，先二后一二是用z表示切面的圆的面积，一是上下限数字。
适用:被积函数只与z有关，
4.直接更改被积区域成几个好求区域的差，球不在圆心用雅克比换元(因为系数没变好想可以直接变化积分变量)

曲面积分
1.对面积的曲面积分∑，ds——一投影Dxoy，二变量表达式代入，三化为二重积分dxdy(乘个根号下)
2.对坐标的曲面积分∑，dxdy或dxdz或dydz——只有一个，一投影Dxoy，二变量表达式代入，三直接二重积分
有多个就拆项成只有一个的
被积函数为1时就是曲面的投影面积!
3.对坐标的曲面积分∑，dxdy与dxdz与dydz3个——封闭或补全高斯定理(转成对体积的三重积分Ω，dxdydz)

曲线积分
1.对弧长的曲线积分L，ds——
普通函数:
一投影得上下限，二变量表达式代入，三化为二重积分dx(乘个根号下)
弧微分ds=√dy^2+dx2=dx√1+(dy/dx)^2

圆弧:
三角换元
令x=f(t)，y=g(t)
ds=dt√(d(f(t))/dt)^{2+(d(g(t))/dt)}2

空间曲线:
参数方程法，联立方程投影到一个面上，写出圆椭圆之类的方程从而设出新的参数表示出x与y，回代得z由新变量的表达式

积分函数是1就是求曲线的弧长

2.对坐标的(两变量平面)曲线积分L，dx或dy——无论几个，弄好上下限，变量表达式dx或参数方程dt带入计算时
3.对坐标的(两变量平面)曲线积分L，dx与dy2个——
封闭或补全格林公式(转成平面的二重积分D)——格林公式逆时针为正，并且是对x求导减去对y求导的
积分与路径无关的计算，一定有原函数，原函数的全微分形式就是被积的那个，求函数从(0，0)到(x，y)即可

挖去没定义的点——外面的依旧用格林公式(大多会是0，积分与路径无关的结论，在封闭曲线下都会是0)
里面(一个把无定义点包含的封闭曲线)的就直接计算(得到一个常数)
例:若任意过无定义点的封闭区域积分都是常数
很有可能就是外面积分为0，里面积分是常数

4.对坐标的(三变量空间)曲线积分
L，dx与dy与dz——
无论几个，变量表达式或参数方程带入计算时，
弄好上下限
5对坐标的(三变量)空间曲线积分
L，dx与dy与dz3个——
封闭或补全斯托克斯公式(转化成对坐标的曲面积分∑dxdy与dxdz与dydz)

曲线曲面积分小知识:
1.理解实质:曲线曲面其实质就是换元，无论被积区域还是积分变量都换成自己能求的定积分二重积分三重积分，当我们的被积函数与被积变量都改变时上下限就可以变了
2求曲面的的投影就是联立方程消去变量。
31被积函数为1意义:1个变量长度，2个变量面积，3个变量体积。
4.积分的性质如奇偶性等很重要
5.弧长曲线积分与坐标曲线积分等一系列的关系
如图，深度理解各类积分的公式由来

6.高斯与格林公式用的时候，也需要挖去无定义的点的题目，这时候设一个半径为R的圆或者球，对这个区域就不用高斯或者格林公式了，当然如果没定义的点化简消去还是可以用的

绝对收敛与条件收敛:用的都是通项
1.基础方法:求出数列的前n项和
当n趋于无穷大时，前n项和趋于常数，第n项的通项仍然趋于0
特殊方法:
有界性判别法，是判定前n项和的函数单调有界(单调增是肯定的)
化为定积分
2.常见级数判敛:
等比级数(小于1收敛)，
p级数(大于1收敛)
调和级数
3.正项级数:
比较判别法(比较大小，特例比值常数衍生出找出等价的判定)
比值判别法(后一项比前一项与1比较，含阶乘适用)
根式判别法(含n次方适用)
4.交错级数:莱布尼兹定理，通项与单调性
5.无穷多项的积也是一种级数，通过取前n项的积的对数转化成我们常见的无穷多项的和的级数(先看通项趋于0吗再看通项在n很大的时候是否能用正项级数的审敛法)

求幂级数级数和函数
先求收敛域，再求和函数(常用的公式收敛区间不同两个等比级数是-1到1的开区间，而ln(1+x)是-1到1的左开右闭)
?为什么用泰勒形成的公式还有收敛范围的要求

1.幂级数与和函数，对应;普通级数与级数和，对应。普通级数——>对应幂级数——>和函数——>函数值
幂级数的收敛域就是幂级数的x取这些数的时候级数的和是函数取这些数的函数值，别的数函数值与级数和不对应。

求普通级数的和
求一个分式的交错级数和，构造幂级数的次方要和分式配合起来形成那种能够好求和函数的形式。

2.幂级数与和函数之间相互转化用那几个要背的麦克劳林展开公式。
3.幂级数求和函数要求导或积分:
前面是n的分式的要求导，构造相同次方
前面不是分式的要积分，构造小1次方
怎么操作不明显的时候，可以提取或增加x
注:
如果前面含的不是分式而是阶乘，那么不是要你求导，而是转换成别的常用泰勒公式的展开式。
4.若幂级数求导过后累加的n起始值发生了变化，若任然化成和原来一样an可能变成an+1，所以求导之后和原来级数也就不同了
5.幂级数积分时下标是不变的
幂级数求导之后下标变化与否要判断原级数的首项求导过后还剩不剩东西下来

泰勒级数——
将一个普通的函数展开成一系列幂函数的和(幂级数)

傅里叶级数——
将一个普通的函数展开成一系列的正余弦函数的和(三角级数)

f(x)展开公式
a0/2+∑(ancosnx+bnsinnx)
正弦级数,当f(x)为奇时an=0
余弦级数,当f(x)为偶时bn=0

a0与an与bn的系数公式
a0=1/兀∫f(x)dx
an=1/兀∫f(x)cosnxdx
bn=1/兀∫f(x)bnsinnxdx (n取你想要的自然数)

三角函数系有个正交性，不同的两个函数的乘积在-兀到兀上积分为0。

周期的函数(有限长度做延拓，不是2兀可以变换)都可以展开成傅里叶级数，
1.傅里叶级数收敛定理
满足狄利克莱条件(连续或有限个可去跳跃间断点，有限个极值点)，有结论收敛的值不一定就是函数值(分为间断点与连续点)。
2.对于不满足狄利克莱条件的
能变成傅里叶级数吗？有收敛的性质吗？
狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。

高等数学下

重积分应用之转动惯量

偏导数连续——>可微
可微——>连续——>极限存在
可导——>连续——>极限存在

参数方程的求导
参数方程一阶导数dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=y’
参数方程二阶导数(dy’/dt)/(dx/dt)

用到F的几个地方:
1.求多元函数驻点与梯度的偏导数可能用到多元隐函数偏导数，然后会用到F，负的两个一比得到别人的偏导数
2.多元函数极值问题本事就是求F的极值
多元函数(例如有xyz三个变量)极值问题F(x，y，z)的极值
3.条件极值问题——拉格朗日乘数法
目标函数与约束条件

隐函数求偏导数的方法:
无论F是二元函数好是三元函数都适用
1.在等式上直接求偏导
2.用F求，z对x的偏导数=-Fx’/Fz’

二元函数F(x，y，z)=0即z=z(x，y)的z极值问题
一般列出z对x与y的两个偏导数为0的等式
和一元函数一样偏导数不存在的点即不可微点(Fz’=0)也可能是最值点(如z=√x^2+y2的极值点就不可微点)
可微与偏导数的关系:
可微，那么偏导数必存在
偏导数存在且连续，那么可微
2.求一阶偏导数得驻点
A是z对x的二阶导数，B是先对x再对y偏导
AC-B^2>0时，A>0有极小值，A<0，有极大值
AC-B^2<0，无极值;等于0再讨论

方向导数是一个数值
方向导数的最大值就是梯度的模长
而梯度就是三个偏导数组成的向量，而这些偏导数是因变量对自变量的偏导数。

空间曲线的方程两种:
一种是两个曲面方程的交线
另一种是三个参数方程
x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)
曲线的切向量:参数方程求导
曲线的切线:三个式子相等
曲线的法平面:等式右边是0
eg:
1.曲线是F(x，y，z)=0，G(x，y，z)=0
好像有个超难记得的雅克比公式
2.曲线是F(x，y，z)=0，G(x，y，z)=0
原来用底下有一个方法，求两个曲面在交点的
法向量，而切线的方向向量垂直它们两个。
3.y=y(x)，z=z(x)——加个x=x就是参数方程
4.曲线是F(x，y，z)=0，G(x，y，z)=0
两个方程可得到两个隐函数y=y(x)，z=z(x)，切向量就是(1，y’(x)，z’(x))，但解出导数比解出隐函数简单——曲线的两个方程对x求导，解这个方程组也有个列行列式的小手段，用等式右边替换要求的导数那一列
?这是偏导数还是导数

曲面的方程是z=f(x,y)，F(x，y，z)=0
曲面法向量——一定要用F
n=(Fx’,Fy’,Fz’)|(xo，yo，zo)
如果由z=f(x,y)转化过来F(x，y，z)=f(x,y)-z
Fx’=f’x,Fy’=f’y,Fz’=-1
曲面的法线
曲面切平面
两个曲面相切于同一个点说明拥有相同的法向量
再加上现在曲面上的两个方程

由方程判断曲面
z^2=X2+Y^2——抛物线旋转形成的拋物面
z=√4-X^2-Y2——球面的上半部分
z=√X^2+Y2——折线旋转形成的锥面

三重积分
1.球面第二个变量范围是0-兀。
适用:锥面与球面交
2.柱面，先一后二，一上下限是两个面方程，二是投影的那个圆用二重积分的极坐标方法。
不适用:上下限的方程是变化的
在对球体的三重积分中上下限的z可以用r(替换了x与y)表示，但被积函数是整个球体不满足方程，所以被积函数的z不能替换。
3.切面，先二后一二是用z表示切面的圆的面积，一是上下限数字。
适用:被积函数只与z有关，
4.直接更改被积区域成几个好求区域的差，球不在圆心用雅克比换元(因为系数没变好想可以直接变化积分变量)

曲面积分
1.对面积的曲面积分∑，ds——一投影Dxoy，二变量表达式代入，三化为二重积分dxdy(乘个根号下)
2.对坐标的曲面积分∑，dxdy或dxdz或dydz——只有一个，一投影Dxoy，二变量表达式代入，三直接二重积分
有多个就拆项成只有一个的
被积函数为1时就是曲面的投影面积!
3.对坐标的曲面积分∑，dxdy与dxdz与dydz3个——封闭或补全高斯定理(转成对体积的三重积分Ω，dxdydz)

曲线积分
1.对弧长的曲线积分L，ds——
普通函数:
一投影得上下限，二变量表达式代入，三化为二重积分dx(乘个根号下)
弧微分ds=√dy^2+dx2=dx√1+(dy/dx)^2

圆弧:
三角换元
令x=f(t)，y=g(t)
ds=dt√(d(f(t))/dt)^{2+(d(g(t))/dt)}2

空间曲线:
参数方程法，联立方程投影到一个面上，写出圆椭圆之类的方程从而设出新的参数表示出x与y，回代得z由新变量的表达式

积分函数是1就是求曲线的弧长

2.对坐标的(两变量平面)曲线积分L，dx或dy——无论几个，弄好上下限，变量表达式dx或参数方程dt带入计算时
3.对坐标的(两变量平面)曲线积分L，dx与dy2个——
封闭或补全格林公式(转成平面的二重积分D)——格林公式逆时针为正，并且是对x求导减去对y求导的，并且还要挖去没定义的点
积分与路径无关的计算，一定有原函数，原函数的全微分形式就是被积的那个，求函数从(0，0)到(x，y)即可

4.对坐标的(三变量空间)曲线积分
L，dx与dy与dz——
无论几个，变量表达式或参数方程带入计算时，
弄好上下限
5对坐标的(三变量)空间曲线积分
L，dx与dy与dz3个——
封闭或补全斯托克斯公式(转化成对坐标的曲面积分∑dxdy与dxdz与dydz)

曲线曲面积分小知识:
1.理解实质:曲线曲面其实质就是换元，无论被积区域还是积分变量都换成自己能求的定积分二重积分三重积分，当我们的被积函数与被积变量都改变时上下限就可以变了
2求曲面的的投影就是联立方程消去变量。
31被积函数为1意义:1个变量长度，2个变量面积，3个变量体积。
4.积分的性质如奇偶性等很重要
5.弧长曲线积分与坐标曲线积分等一系列的关系
如图，深度理解各类积分的公式由来

6.高斯与格林公式用的时候，也需要挖去无定义的点的题目，这时候设一个半径为R的圆或者球，对这个区域就不用高斯或者格林公式了，当然如果没定义的点化简消去还是可以用的

绝对收敛与条件收敛:用的都是通项
1.基础方法:求出数列的前n项和
当n趋于无穷大时，前n项和趋于常数，第n项的通项仍然趋于0
特殊方法:
有界性判别法，是判定前n项和的函数单调有界(单调增是肯定的)
化为定积分
2.常见级数判敛:
等比级数(小于1收敛)，
p级数(大于1收敛)
调和级数
3.正项级数:
比较判别法(比较大小，特例比值常数衍生出找出等价的判定)
比值判别法(后一项比前一项与1比较，含阶乘适用)
根式判别法(含n次方适用)
4.交错级数:莱布尼兹定理，通项与单调性
5.无穷多项的积也是一种级数，通过取前n项的积的对数转化成我们常见的无穷多项的和的级数(先看通项趋于0吗再看通项在n很大的时候是否能用正项级数的审敛法)

求幂级数级数和函数
先求收敛域，再求和函数(常用的公式收敛区间不同两个等比级数是-1到1的开区间，而ln(1+x)是-1到1的左开右闭)
?为什么用泰勒形成的公式还有收敛的范围要求

1.幂级数与和函数，对应;普通级数与级数和，对应。普通级数——>对应幂级数——>和函数——>函数值
幂级数的收敛域就是幂级数的x取这些数的时候级数的和是函数取这些数的函数值，别的数函数值与级数和不对应。

求普通级数的和
求一个分式的交错级数和，构造幂级数的次方要和分式配合起来形成那种能够好求和函数的形式。

2.幂级数与和函数之间相互转化用那几个要背的麦克劳林展开公式。
3.幂级数求和函数要求导或积分:
前面是n的分式的要求导，构造相同次方
前面不是分式的要积分，构造小1次方
怎么操作不明显的时候，可以提取或增加x
4.若幂级数求导过后累加的n起始值发生了变化，若任然化成和原来一样an可能变成an+1，所以求导之后和原来级数也就不同了
5.幂级数积分时下标是不变的
幂级数求导之后下标变化与否要判断原级数的首项求导过后还剩不剩东西下来

泰勒级数——
将一个普通的函数展开成一系列幂函数的和(幂级数)

傅里叶级数——
将一个普通的函数展开成一系列的正余弦函数的和(三角级数)

f(x)展开公式
a0/2+∑(ancosnx+bnsinnx)
正弦级数,当f(x)为奇时an=0
余弦级数,当f(x)为偶时bn=0

a0与an与bn的系数公式
a0=1/兀∫f(x)dx
an=1/兀∫f(x)cosnxdx
bn=1/兀∫f(x)bnsinnxdx (n取你想要的自然数)

三角函数系有个正交性，不同的两个函数的乘积在-兀到兀上积分为0。

周期的函数(有限长度做延拓，不是2兀可以变换)都可以展开成傅里叶级数，
1.傅里叶级数收敛定理
满足狄利克莱条件(连续或有限个可去跳跃间断点，有限个极值点)，有结论收敛的值不一定就是函数值(分为间断点与连续点)。
2.对于不满足狄利克莱条件的
能变成傅里叶级数吗？有收敛的性质吗？
狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。

数学启发点记录
常见题目中的关键词与小知识与技巧
证明题太难搞了!
各类题型通用方法:
1.举特例
2.变形计算能力!变形联想能力!眼神敏锐
3.换元

变形
1.裂项:前后项差一项
2.分子同时加减一个量可以将分子拆出能约分的式子
3.分子与分母
构建洛必达法则，构建导数定义
——分子分母同时除以一个量
分子分母的有理化
——分子分母同时乘以一个量
4.一个式子减加同一个量
——证明不等式
5.一个式子同乘后同除一个量
——构造平方差公式，二倍角公式
6.一个式子等于平方之后再开根
两个积分只有积分变量不同积分结果相同
——形如e^(x2)，转化成二重积分
7.内部提取一个量
——对数求极限(里面不是无穷小量)，巧妙不定积分(不定积分无常数的项拿到后面凑上和另外一个项的常数)
5.两个函数值相减能变形成其导函数积分形式
两个积分表达式上下限积分变量相同可合并
6.遇到含Xn，Xn-1，Xn-2这类几个项之间的关系式子，
第一步就是找到两项的差
第二步
一，如果有三个很可能利用递减的递推关系到X2与X1这样的很小的项。
二，如果得出相邻两项(也许有递推式子)那么就可以累加(Xn的式子)
三，如果是两个看能否判断后面正负，这样能看出单调性，有单调性不要忘了单调有界准则
7.
积分表达式用含n的字母表示，e的指数与幂函数能进行n次分部积分，写出它的项与项之间的递进关系式。

8.一个含导数的等式能不能转化成一个方程求导后的结果
9.我很少重新设一个变量k
级数分子分母均出现-1的次方时要分奇偶讨论
也许要用表示2k-1,2k+1
中括号表示不大于它的最大整数的提型，一定可以表示一个区间为1的不等式，可以设一个k
10.看到一个数与导数的和肯定是对勾函数，有范围
11.一阶导数相关:等式罗尔，不等式拉格朗日
二阶导数有关:泰勒，拉格朗日
证明等式的变形，移项使右边为0
为0的东西可以加到你想加的地方

换元:
1.换元:给一个含两个变量的等式(无法互相表示)那么就能通过换元用另外一个量来表示他们，如果含两变量的不等积分
2.换元:对称区间直接用t=-x换元，尤其含有
1+e^x与1+e-x，那么他们就能转化了
3.换元:一个封闭的区域二重积分通过换元可能使得积分区域变成含∞的量

小知识:
举例子，举几个简单的相似的题目
字母右下角有字母确实是求偏导
积分上下限调换加负号也管用!
二元的线性规划取最大值与最小值的点都是在端点，那么球的线性规划是平面与其相切的时候，用点到平面的距离公式。
一个平面截一个球，无论平面过球心与否，都能
算出交线的弧长(构成那个直角三角形)
arctan的公式
arctan A + arctan B=arctan(A+B)/(1-AB)
arctan A - arctan B=arctan(A-B)/(1+AB)
x+y+z=0的图像首先过(0，0，0)并且法向量为
(1，1，1)
叉乘得到垂直于前两者的向量，应用:求两条空间直线的距离，通过方向向量叉乘求法向量，选两点形成向量，用点积除以法向量模长
x/dx=y/dy，那么y与x之间是正比关系