长杠变短杠,开口换方向
其实意思是底下这个
C ∩ D ‾ = C ‾ ∪ D ‾ \overline{C \cap D} = \overline C \cup \overline D C∩D=C∪D
可导必可微,可微必可导
二者互为充要条件
可导必定连续,连续未必可导。连续必定可积,可微未必可积
再题外话,摘抄网上的42条口诀,鉴于网上互相抄且不注明出处,此处也无法考究其真正出处:
有点像高中知识,看来我是都忘了
( f ( x ) ± g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) ± g ′ ( x ) (f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x) (f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)
( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) (f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x) (f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)
( f ( x ) g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) g 2 ( x ) (\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)}{g^2(x)} (g(x)f(x))′=g2(x)f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)
( 1 f ( x ) ) ′ = − f ′ ( x ) f 2 ( x ) (\frac{1}{f(x)})'=\frac{-f'(x)}{f^2(x)} (f(x)1)′=f2(x)−f′(x)
驻点是函数一阶导数为0的点
求极限可能用到的方法(可能综合使用)
d x dx dx是 Δ x \Delta x Δx趋向于0的精确值( Δ \Delta Δ是近似值, d d d是精确值)
可导必连续,连续未必可导
##判断
一阶可导点是极值的必要条件(费马定理)
判断极值的第二充分条件 f ( x ) f(x) f(x)驻点处看 f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x),若 f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x)>0 f′′(x)>0是极小值,若 f ′ ′ ( x ) < 0 f''(x)<0 f′′(x)<0是极大值
意思是若依照驻点找极值点,应当看二阶导判断驻点是哪种极值点
先按隐函数求导求出一阶导数,一阶导数中代入 y ′ = 0 y'=0 y′=0,得到一个 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的关系式,该关系式代回原隐函数可以得到一个点,是驻点,接着使用一阶导数求二阶导数,根据二阶导数的正负判断是哪种极值(极大值/极小值)
弧在弦下为凹,弧在弦上为凸。凸凹性的判断看二阶导的正负,正凹负凸
二阶可导点是拐点的必要条件(二阶导某点左右异号即为拐点)
拐点是凹弧与凸弧的分界,该点是否可导与是不是拐点无必然联系。找的点可以是未定义的点(如分母不能为零),也可以是二阶导为0的点。因为判断的根本条件是两侧是否异号,找到之后也要验证一下(有时候未必异号)。
若有渐近线应当画出来。
分为两种情况,即常规方程和参数方程。
K = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac32}} K=(1+y′2)23∣y′′∣
K = ∣ x t ′ y t ′ ′ − x t ′ ′ y t ′ ∣ ( x t ′ 2 + y t ′ 2 ) 3 2 K=\frac{|x_t'y_t''-x_t''y_t'|}{(x_t'^2+y_t'^2)^{\frac32}} K=(xt′2+yt′2)23∣xt′yt′′−xt′′yt′∣
幂指函数是初等函数,主要记住公式:
u v = e v ln u u^v=e^{v\ln u} uv=evlnu
u ( x ) v ( x ) = e v ( x ) ln u ( x ) u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln {u(x)}} u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)
x x = e x ln x x^x=e^{x\ln x} xx=exlnx
例题:画出 x > 0 x>0 x>0时函数 x x x^x xx的大致图像
①看定义域左右极限:根据 x ∈ ( , + ∞ ) x \in (,+\infty) x∈(,+∞):
lim x → 0 + x x = e lim x → 0 + x ln x = e 0 = 1 \lim_{x \to 0^+}x^x = e^{\lim_{x \to 0^+}x\ln x}=e^0=1 x→0+limxx=elimx→0+xlnx=e0=1
lim x → + ∞ x x = + ∞ \lim_{x \to +\infty}x^x = +\infty x→+∞limxx=+∞
②求导看单调性:
( x x ) ′ = ( e x ln x ) ′ = ( e x ln x ) ( x ln x ) ′ = x x ( ln x + 1 ) (x^x)'=(e^{x\ln x})'=(e^{x\ln x})(x\ln x)'=x^x(\ln x + 1) (xx)′=(exlnx)′=(exlnx)(xlnx)′=xx(lnx+1)
发现 x = 1 e x=\frac 1e x=e1是导数0点,易发现 ( 0 , 1 e ) (0,\frac 1e) (0,e1)导数小于0,单调递减,右侧 ( 1 e , + ∞ ) (\frac 1e,+\infty) (e1,+∞)导数大于0,单调递增。
附: lim x → 0 + x ln x = lim x → 0 + ln x 1 / x \lim_{x \to 0^+}x\ln x=\lim_{x \to 0^+}\frac{\ln x}{1/x} x→0+limxlnx=x→0+lim1/xlnx
按洛必达法则可求出极限为0