二分查找O(logn)和归并排序O(nlogn)时间复杂度介绍

概述

本文通过二分查找和归并排序为例，主要介绍时间O(logn)和O(nlogn)这两个时间复杂度是怎么得出来的。O(1)、O(n)、O(n2)在此不做介绍了，O(n)、O(n2)就是for循环一次、二次，O(1)的话…就好像单例模式或者map吧。

首先，简单看下常见的时间复杂度量级，有个基本的概念。

• 常数阶O(1)
• 线性阶O(n)
• 平方阶O(n²)
• 对数阶O(logn)
• 线性对数阶O(nlogn)
  

O(logn)：二分查找法时间复杂度

通常情况下二分查找针对的是一个有序的数据集合进行查找。

他的步骤是将一个规模为N的数据先分为N/2进行比对，再分为N/4、N/8、N/16…直到最后的堆数为1。

假设这个有序数据集的大小为N，将其通过表格的形式进行展示：

次数	每堆数量
1	N/2
2	N/4
3	N/8
4	N/16
X	N/(2^X)

根据表格可以看出，假设执行X次后，堆数为1，即完成了查找。

因此，N/(2^X) = 1。 求出 X = logN

通过X次完成查找，X就代表了二分查找法的时间复杂度------O(logn)。

O(nlogn)：归并排序的时间复杂度

有了二分查找法的概念，再来看归并排序。此时，假设我们有一个数据量为N的无序数据集。这里提供使用递归和非递归两种方式进行讲解。

1.通过使用递归的方式实现排序

递归X次，将N个数划分成2^ X个区间，每个区间的数量为N/(2^X)个

递归次数	划分区间	每个区间的数量
1	2	N/2
2	4	N/4
3	8	N/8
4	16	N/16
X	2^X	N/(2^X)

跟二分查找一样，我们最终要将每个区间的数量变为1。

即递归logN次，将N个数划分为N个区间，每个区间的数量为1。记住这个logN。

当区间长度为1时，进行归并排序的merge操作：从最底层开始（logN层）,对相邻两个区间进行合并（利用合并算法进行合并，这里不讨论这个）。

接来下，找下规律：

第logN层，每个区间的数量为1，需要合并对次数为N/2。但N个数字都会被遍历一次，所以这一层的时间复杂度为O(N)。

第2层，需合并的次数为N/4，相邻区间需要合并的次数为2。但这层N个数字会被遍历一遍，所以这一层的时间复杂度也为O(N)。

第1层，需合并的次数为N/2，相邻区间需要合并的次数为1。同样这层N个数字会被遍历一遍，所以这一层的时间复杂度也为O(N)。

那么，每一层的时间复杂度都为O(N)，一共有logN层。由此得出，归并排序的时间复杂度时O(nlogn)。

2.通过非递归的方式实现排序

非递归的思想与递归的思想基本相同。

首先，将数量为N的数据集分成N个。

第一次merge操作，对1个数字进行合并。

第二次merge操作，对2个数字进行合并。

第三次merge操作，对4个数字进行合并。

……

直到对所有数字（即对无序数据集的大小个数字进行合并）进行merge操作，就完成了对改无序数据集的排序。

和递归方式相同，每次操作都对N个数字进行了操作，每次时间复杂度都是O(N)。

不难得出，一共需要进行logN次操作，才能完成该大小为N的无序数据集的排序。

因此，用非递归的方式实现归并排序，时间复杂度依然为O(nlogn)。