概率论与数理统计 基本概念

前言

• 研究对象
  • 确定性现象: 必然发生或不发生
  • 随机现象:
    个别试验结果呈现不确定性，
    大量试验结果呈现统计规律性。

概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的学科

概率论的基本概念

随机试验：

1. 试验可以在相同条件下重复进行;
2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果;
3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现;
4. 则称之为随机试验，简称为试验，记为E。

样本空间：随机试验所有可能结果组成的集合，记为S或Ω.
样本点:随机试验的每个结果，称为样本点，记为e.

样本空间S是由全体样本点e构成的集合:S={e}.

求S：

1. 列举法（有限个）
2. 描述法

随机事件

定义：样本空间S的子集称为E的随机事件，用A、B、C等表示，简称事件

基本事件:由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.

必然事件:样本空间S包含所有样本点，在每次试验中它总发生，故称为必然事件.

不可能事件:空集Ф 不包含任何样本点，在每次试验中都不发生，称为不可能事件.

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事件间的关系

事件间的运算

事件的运算法则：
口诀：长线变短线，开口变方向

注:
(1) 通过事件的运算，可以将一个事件表示成与它相等的形式，便于计算.
(2) 事件运算顺序约足为先进行逆运算，而后交运算，最后并或差运算.

频率与概率

• 概率的 描述性 定义

称随机事件A发生的可能性大小的度量(非负值)为事件A发生的概率.

• 概率的 统计性 定义——频率
  

频率的基本性质：

注:频率大小表示A发生的频繁程度

频率大，事件A发生就频繁，这就意味着事件A在一次试验中发生的可能性大就大。

• 概率的 公理化 定义

设E是随机试验，S是它的样本空间.对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A)，如果集合函数P(·)满足下列条件:
可列？？一个集合中的元素可以按照一定的顺序一一列举出来则该集合为可列集合

概率的重要性质

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古典概型

几何概型

注:

1. 古典概型:基本事件有限、等可能的随机试验;
   几何概型:基本事件无限、等可能的随机试验.
2. 求解几何概型，关键是画出题目涉及的区域，并求其度量.

条件概率

注:
要注意P(AB)与P(B|A)的区别:

• P(AB)是在样本空间为S时，A,B同时发生的可能性，
• P(B|A)则表示在A发生的条件下，B发生的可能性，此时样本空间已由 S缩减为A.

只要在题设条件中有:“已知A发生”或“*在A发生的条件下”等，均要考虑条件概率

乘法公式

推广：

全概率公式、贝叶斯公式

样本空间的划分：

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全概率公式

定义：

注意：

贝叶斯公式

定义：

注意：

独立性

定义：

注意：


定理：

总结

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n 个事件的独立性

推论：

独立性的判定

1. 直观性判定:若试验独立，则其结果必相互独立.☆根据事件的实际意义去判断.
2. 利用上述定义及定理.