2067: [蓝桥杯2023初赛] 幸运数

小蓝认为如果一个数含有偶数个数位，并且前面一半的数位之和等于后面一半的数位之和，则这个数是他的幸运数字。 例如 2314
是一个幸运数字，因为它有 4 个数位，并且 2 + 3 = 1 + 4 。 现在请你帮他计算从 1 至 100000000
之间共有多少个不同的幸运数字。 本题的结果为一个整数，在提交答案时只输出这个整数，输出多余的内容将无法得分。

我们可以编写一个Python程序来遍历1至100000000之间的所有数字，并检查每个数字是否符合小蓝的幸运数字定义。不过，由于直接遍历这个范围内的所有数字并检查它们是否为幸运数字的效率很低，我们需要找到一种更高效的方法。

一个更高效的方法是直接构造幸运数字。考虑到幸运数字的定义，我们可以分别计算一半数字的和，然后找到所有可能的组合，这样可以大大减少需要检查的数字数量。

以下是解决这个问题的Python代码：

def sum_combinations(n):
    """
    Generate all possible combinations of numbers with n digits where the sum of the digits is s.
    """
    if n == 1:
        return {i: [str(i)] for i in range(10)}
    
    prev_combinations = sum_combinations(n - 1)
    combinations = {}
    for s in range(9 * n + 1):
        combinations[s] = []
        for i in range(10):
            if s - i in prev_combinations:
                for prev in prev_combinations[s - i]:
                    combinations[s].append(str(i) + prev)
    return combinations

def count_lucky_numbers(n):
    """
    Count the lucky numbers between 1 and 10**n.
    """
    half_n = n // 2
    if n % 2 != 0:
        return 0  # If the number of digits is odd, return 0 as there can't be any lucky numbers.

    # Generate all combinations for half the number of digits
    half_combinations = sum_combinations(half_n)
    
    # Now, for each possible sum of half the digits, we pair the combinations
    # of the first half with the second half.
    count = 0
    for s in range(9 * half_n + 1):
        if s in half_combinations:
            count += len(half_combinations[s]) ** 2

    return count

# Count lucky numbers up to 100000000 (which has 8 digits)
print(count_lucky_numbers(8))

这段代码首先定义了一个递归函数sum_combinations，它会生成所有可能的数字组合，这些数字的长度是n，并且它们的数位之和是特定的值。然后，count_lucky_numbers函数使用这个辅助函数来计算幸运数字的总数。