【算法扫盲】从暴力递归到动态规划

1、暴力递归

1）把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题
2）有明确的不需要继续进行递归的条件[base case]
3）有当得到了子问题的结果之后的决策过程
4）不记录每一个子问题的解

① 打印n层汉诺塔从最左边移动到最右边的全部过程

② 给定一个栈，不能申请额外的数据结构，使用递归方式来逆序这个栈

③ 打印一个字符串的全部子序列

④ 打印一个字符串的全部子序列，且不出现重复字面值的子序列

⑤ 打印一个字符串的全部排列，要求不出现重复的排列

⑥ 规定1和A对应，2和B对应，3和C对应...
那么一个数字字符串比如"111"就可以转化为"AAA"、"KA"、"AK"
给定一个只有数字字符组成的字符串str，返回有多少种转化结果

⑦ 给定两个长度都为N的数组weights和values，
weights[i]和values[i]分别代表i号物品的重量和价值。
给定一个正数bag，表示一个载重bag的袋子，
袋子中可以装的物品不能超过这个重量，
返回袋子中能装下的最多的价格是多少？

⑧ 给定一个整型数组arr，代表数值不同的纸牌排成一条线，
玩家A和玩家B依次拿走每张纸牌，规定玩家A先拿，玩家B后拿，
但是每个玩家每次只能拿走最左或最右的纸牌，
双方玩家都不会在对方单独改变策略的情况下让对方得到收益，
请返回最后获胜者的分数。

⑨ N皇后问题
在N*N的棋盘上摆N个皇后，要求任何两个皇后不同行、不同列、不同斜线
给定一个正数N，返回N皇后的摆法有多少种：
N=1，返回1
N=2或3，2皇后和3皇后问题无论怎么摆都不行，返回0
N=8，返回92

目前N皇后的问题已经是最优解，业内研究了这么些年，已经是最好的试法，在试法上已经没有突破了。所以N皇后问题现在也是各个国家大型机器验证计算能力的经典题目，所以在试法上已经到头了。但是在常数项方面可以继续优化加速，使用位运算来进行常数项的优化后，时间上可以获得指数级别的提升。

2、动态规划

什么暴力递归可以继续优化？

① 有重复同一个子问题的解，这种递归可以优化；

② 如果一个子问题都是不同的解，无法优化也不用优化。

假设有排成一行的N个位置，记为1~N，N一定大于或等于2
开始时机器人在其中的M位置上（M一定是1~N中的一个）
如果机器人来到1位置，那么下一步只能往右来到2位置
如果机器人来到N位置，那么下一步只能往右来到N-1位置
如果机器人来到中间位置，那么下一步可以往左或往右走
规定机器人必须走K步，最终能来到P位置（P也是1~N中的一个）的方法有多少种
给定4个参数：N、M、K、P，返回方法数

暴力递归：

动态规划：

任何一个动态规划，都是由暴力尝试的种子改过来的。暴力递归其实是最最自然的智慧，最符合人类第一反应的思维。在暴力递归的循环中，一步一步去分析其中的必要性，从而转为动态规划。但并不是所有的暴力递归都可转为动态规划，有时候暴力递归的重复性没有那么深，也完全没有必要改为动态规划。说到底，动态规划就是把参数组合完成结构化的缓存。常见的4种尝试改为动态规划的暴力递归模型：

1）从左往右的尝试模型

2）范围上的尝试模型

3）多样本位置对应的尝试模型

4）寻找业务限制的尝试模型

下面看几例上面的用暴力递归解决的问题，尝试优化成动态规划：

第⑥题，由暴力递归改为动态规划

第⑦题，由暴力递归改为动态规划

第⑧题，由暴力递归改为动态规划

给定一个字符串str和一个字符串类型的数组arr
arr里面的每一个字符串代表一张贴纸，可以把单个字符剪开使用，目的是拼出str
返回需要多少张贴纸可以完成这个任务？

比如：str="babac"，arr={"ba", "c", "abcd"}
答案：至少需要两张贴纸"ba"和"abcd"。因为使用这两张贴纸，把每一个字符单独剪开
含有2个a，2个b，1个c，是可以拼出str的，故返回2

其实从上面的例子中可以看出，在解决一个问题的时候可能有很多可尝试的方法。在众多的尝试方法中，又会产生很多动态规划的方式，也就是说，一个问题可能会有若干种动态规划的解法。那么如何找到某个问题的动态规划方式？

1）分析一个暴力递归是否存在重复调用；

2）找到哪些参数的变化会影响返回值，对每一个列出变化范围；

3）参数间所有的组合数量，意味着表大小；

4）记忆化搜索的方法就是傻缓存，非常容易得出；

5）规定好严格表的大小，分析位置的依赖顺序，然后从基础填写到最终解；

6）对于有枚举行为的决策过程，进一步优化。

两个字符串的最长公共子序列问题

给定一个数组，代表每个人喝完咖啡准备刷杯子的时间
只有一台咖啡机，一次只能洗一只杯子，时间耗费a，洗完才能洗下一杯
每个咖啡杯也可以自己挥发干净，时间耗费b，咖啡杯可以并行挥发
返回让所有咖啡杯变干净的最早完成时间

暴力递归

动态规划