单脉冲测角-半阵法

单脉冲测角的类型

传统的单脉冲测向方法主要有3种，分别是半阵法、加权法和和差比幅法。在了解单脉冲测向之前，首先要知道确知波束形成，确知波束形成就是设计一组权值，使得对各个阵元接收到的信号进行加权求和之后，形成一种空间滤波，选择性的接收期望方向的信号而抑制其他方向的信号。在实际情况中，前端处理得到的波束指向角${\phi }_0$不一定等于${\phi }_s$，但真实角度一般出于波束的3dB带宽以内。因此我们就需要一种方法在已知确知波束指向角的情况下测量期望信号的真实方向。单脉冲测角就是用于解决该问题。通常情况下，单脉冲测角需要在阵列的输出端分别形成和波束和差波束，其中和波束要求在波束指向处形成主瓣增益，而差波束则要求在波束指向处形成零陷。然后利用单脉冲比即和差比估计出期望信号方向与波束指向间的插值${\Delta }_{\phi }$。

导向矢量

图1. 均匀线性阵接收信号模型

对于均匀线阵，俯仰角$\phi$的定义域通常为$\phi \in (-90^{\circ },90^{\circ })$。设阵列参考点为$o$，即左起第一个阵元。由几何关系我们可以知道，第$m$个阵元相对于参考点的波程差为$(m-1)d\sin \phi$，因此我们可以得到第$m$个阵元相对于参考点的时延${\tau }_m$。
$${\tau }_m=\frac{(m-1)d\sin \phi }{c}$$
利用上式，均匀线阵的导向矢量可以表示为：
$$\mathbf{a}(\phi )=[1,e^{j\frac{2\pi d\sin \phi }{\lambda }},...,e^{j\frac{2\pi (M-1)d\sin \phi }{\lambda }}{]}^T$$
在均匀线性阵中，要求相邻阵元间距$d\le \lambda /2$，否则会造成相位混叠，进而影响单脉冲测角。
由导向矢量，可以得到来波方向为$\phi$的信号$s(t)$的阵列输出为：
$$y=\mathbf{a}(\phi )s(t)$$

半阵测向原理

半阵测向方法利用阵列的几何对称性来构造和差波束权向量，因此主要用于均匀线阵和均匀面阵这种拥有范德蒙德结构导向向量的规则阵列。下面以线阵为例，解析半阵测向的原理和过程。
首先考虑一个包含$2M$阵元的均匀线阵，阵元间距为$d$，波束指向为${\phi }_0$。由于和波束要求在波束指向${\phi }_0$处形成主瓣增益，因此我们可以取和波束权${\mathbf{w}}_{\Sigma }$为指向${\phi }_0$处的导向向量。
$${\mathbf{w}}_{\Sigma }=\mathbf{a}({\phi }_0)$$
利用均匀线阵的对称性，我们取差波束为${\mathbf{w}}_{\Delta }$为
$${\mathbf{w}}_{\Delta }=[-1,...,-1,1,...,1{]}^T\odot \mathbf{a}({\phi }_0)$$

式中$\odot$表示Hadamard积。假设期望信号的入射方向为${\phi }_s$，其导向向量为$\mathbf{a}({\phi }_s)$，和波束的输出为$\Sigma ({\phi }_s)$，差波束输出为$\Delta ({\phi }_s)$

$$\begin{array}{rl}& \Sigma ({\phi }_s)={\mathbf{w}}_{\Sigma }^T\mathbf{a}({\phi }_s)=\sum _{m=1}^{2M}\exp [j\frac{2\pi (m-1)d}{\lambda }(\sin {\phi }_s-\sin {\phi }_0)]\\ & \Delta ({\phi }_s)={\mathbf{w}}_{\Delta }^T\mathbf{a}({\phi }_s)=\sum _{m=M+1}^{2M}\exp [j\frac{2\pi (m-1)d}{\lambda }(\sin {\phi }_s-\sin {\phi }_0)]-\sum _{m=1}^M\exp [j\frac{2\pi (m-1)d}{\lambda }(\sin {\phi }_s-\sin {\phi }_0)]\end{array}$$
为便于简化，我们设波束$P$为
$$P=\sum _{m=1}^M\exp [j\frac{2\pi (m-1)d}{\lambda }(\sin {\phi }_s-\sin {\phi }_0)]$$
将$P$带入$\Sigma ({\phi }_s)$、$\Delta ({\phi }_s)$得到
$$\begin{array}{rl}& \Sigma ({\phi }_s)={\mathbf{w}}_{\Sigma }^T\mathbf{a}({\phi }_s)=P(\exp [j\frac{2\pi Md}{\lambda }(\sin {\phi }_s-\sin {\phi }_0)]+1)\\ & \Delta ({\phi }_s)={\mathbf{w}}_{\Delta }^T\mathbf{a}({\phi }_s)=P(\exp [j\frac{2\pi Md}{\lambda }(\sin {\phi }_s-\sin {\phi }_0)]-1)\end{array}$$
我们令$u=\sin {\phi }_s-\sin {\phi }_0$，利用欧拉公式$e^{jx}=\cos x+j\sin x$进一步得到半阵法的单脉冲比MRC
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}\mathrm{MRC}& =\frac{\Delta ({\phi }_s)}{\Sigma ({\phi }_s)}\\ & =\frac{P[\exp (j\frac{2\pi Md}{\lambda }u)-1]}{P[\exp (j\frac{2\pi Md}{\lambda }u)+1]}\\ & =\frac{\exp (j\frac{2\pi Md}{\lambda }u)-1}{\exp (j\frac{2\pi Md}{\lambda }u)+1}\\ & =\frac{\exp (j\frac{\pi Md}{\lambda }u)[\exp (j\frac{\pi Md}{\lambda }u)-\exp (-j\frac{\pi Md}{\lambda }u)]}{\exp (j\frac{\pi Md}{\lambda }u)[\exp (j\frac{\pi Md}{\lambda }u)+\exp (-j\frac{\pi Md}{\lambda }u)]}\\ & =\frac{\exp (j\frac{\pi Md}{\lambda }u)-\exp (-j\frac{\pi Md}{\lambda }u)}{\exp (j\frac{\pi Md}{\lambda }u)+\exp (-j\frac{\pi Md}{\lambda }u)}\\ & =j\frac{\sin (\pi Mdu/\lambda )}{\cos (\pi Mdu/\lambda )}\\ & =j\tan (\frac{\pi Md}{\lambda }u)\end{array}\end{array}$$
在单脉冲侧向的场景中，通常假设目标真实方向${\phi }_s$与波束指向${\phi }_0$相差较小，由此可知$u=\sin {\phi }_s-\sin {\phi }_0$趋近于0。同时由于$\pi Md/\lambda$为一有限值，我们可以利用等价无穷小$\tan x\sim x$将单脉冲比MRC近似为
$$\mathrm{MRC}=j\frac{\pi Md}{\lambda }u=j\frac{\pi Md}{\lambda }(\sin {\phi }_s-\sin {\phi }_0)$$
最后利用Taylor展开式，具体原理可参考高等数学中相关内容：
泰勒（Taylor）中值定理：如果函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域$U(x_0)$内具有$(n+1)$阶导数，那么对于任一$x\in U(x_0)$，有
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}f(x)& =f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }}{2!}(x-x_0)+\cdots +\\ & \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)\end{array}\end{array}$$
其中
$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$
这里$\xi$是$x_0$与$x$之间的某个值。
利用Taylor展开式，将$\sin {\phi }_s$在${\phi }_0$处展开，并舍弃二阶及其以上高次项：
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}\sin {\phi }_s& =\sin {\phi }_0+{\sin }^{\prime }({\phi }_0)({\phi }_s-{\phi }_0)\\ & =\sin {\phi }_0+\cos ({\phi }_0)({\phi }_s-{\phi }_0)\end{array}\end{array}$$
由此可得到单脉冲比MRC为
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}\mathrm{MRC}=& =j\frac{\pi Md}{\lambda }(\sin {\phi }_s-\sin {\phi }_0)\\ & =j\frac{\pi Md}{\lambda }(\sin {\phi }_0+\cos ({\phi }_0)({\phi }_s-{\phi }_0)-\sin {\phi }_0)\\ & =j\frac{\pi Md}{\lambda }\cos ({\phi }_0)({\phi }_s-{\phi }_0)\end{array}\end{array}$$
若我们取$\Delta \phi ={\phi }_s-{\phi }_0$作为偏离角，则可以得到一个关于$\Delta \phi$的线性函数。
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}\mathrm{MRC}& =j\frac{\pi Md}{\lambda }\cos ({\phi }_0)({\phi }_s-{\phi }_0)\\ & =j\frac{\pi Md}{\lambda }\cos ({\phi }_0)\Delta \phi \end{array}\end{array}$$

半阵测向仿真

考虑一个8阵元的均匀线阵，阵元间距为半波长，若我们设阵列波束指向${\phi }_0=0^{\circ }$，和波束与差波束按照以上原理产生。仿真代码如下：

% 半阵侧向法，和差波束形成
%  Author:huasir 2023.11.1 @Beijing
N = 8; %阵元数
theta = (-90:0.1:90); %观测角度范围
theta0 =0; %阵列波束指向的方向
theta0 = theta0*pi/180;
theta = theta*pi/180;
d_lembda = 1/2; %阵元间距比波长
a = exp(j*2*pi*d_lembda*(0:N-1)'*sin(theta0)); %指向theta0处的波束导向矢量
a_phis = exp(j*2*pi*d_lembda*(0:N-1)'*sin(theta)); %观测角度下的波束导向矢量
wSum = a'; %和波束的加权权向量
wDiff = [ones(1,N/2).*(-1),ones(1,N/2)].*(a'); %差波束的加权权向量
ySum = abs(wSum*a_phis);
yDiff = abs(wDiff*a_phis);
%win = taylorwin(N); % 泰勒窗
%win = chebwin(N,30); %切比雪夫窗，抑制旁瓣
% ww = w.*win; %加窗操作
% y1 = abs(ww'*a); %加窗后的方向图
figure;
plot(theta*180/pi,20*log10(ySum/max(ySum)),'linewidth',1);
hold on;
plot(theta*180/pi,20*log10(yDiff/max(yDiff)),'--','linewidth',1);
xlabel('方位角/°');ylabel('归一化功率和波束方向图/dB');
legend('\Delta 和波束','\Sigma 差波束');
axis tight;% axistight 使得图形框图靠近数据
grid on; %添加栅格线
ylim([-50, 0]); % 为了限制y值范围，使得图像显示的更加合理
title(sprintf('和差波束图，阵元数：%d，波束方向：%.0f°',N,theta0));

上述代码运行后，可绘制处和差波束如下图所示：

图1. 和差波束图

值得注意的是，本文是针对一维均匀线阵做的仿真，对于二维均匀线阵，分别有和波束、俯仰差、方位差，原理与此相同。
从图中我们可以看出，和波束的主瓣对准了${\phi }_0=0^{\circ }$，3dB衰减边界大致位于±6°处。差波束在波束指向${\phi }_0$处形成了一个较深的零陷，注意图中截断了衰减−50dB以下的部分。
取-6°~6°，绘制单脉冲比曲线图，代码和绘制的曲线如下

ySum = (wSum*a_phis); %和波束
yDiff = (wDiff*a_phis); %差波束
angleDiscr =imag(yDiff./ySum); %鉴角曲线，取其虚部
thetaDis = (-6:0.1:6); %鉴角曲线取-6°~6°
angleDiscr = angleDiscr(841:961); %取-6°-6°
figure;
plot((-6:0.1:6),angleDiscr,'linewidth',1);
axis tight;% axistight 使得图形框图靠近数据
grid on; %添加栅格线
title(sprintf('鉴角曲线，阵元数：%d，波束方向：%.0f°',N,theta0));

图2. 半阵法的单脉冲比曲线图

上面是单脉冲比曲线图，对于单脉冲比曲线图，我们可以得知当角度$\phi$与波束指向角${\phi }_0$较为接近时，MRC的线性度较好，而在远离波束指向的地方，MRC的线性度较差。这意味着期望信号的真实方向${\phi }_s$偏离波束指向${\phi }_0$越多，该方法的测量误差也就越大。
下面我们取某一个角度，进行验证，角度为2°，代码如下：

angle = 2 %某一个角度
realAnglD = angleDiscr((angle+6)/0.1+1) %该角度对应的单脉冲比
computeAngle = realAnglD/(pi*N*1/2*d_lembda); %由单脉冲比计算出来的角度
computeAngle = computeAngle*180/pi %角度转变为弧度
angleError = computeAngle - angle  %计算误差

结果输出如下：

realAnglD =

    0.2229

computeAngle =

    2.0323

angleError =

    0.0323

在2°的时候，由和差波束比实际计算得到的角度为 2.0323°，可见准确度还是很高的。