AcWing 875. 快速幂

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题目描述 ：

给定 n 组 ai,bi,pi，对于每组数据，求出 ai^bi mod pi 的值。

输入输出格式 ：

输入

第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含三个整数 ai,bi,pi

输出

对于每组数据，输出一个结果，表示 ai^bi mod pi 的值。
每个结果占一行。

输入输出样例 ：

输入

2
3 2 5
4 3 9

输出

4
1

题目分析 ：

快速幂可以用来解决 a ^k % p 的问题。快速幂的基本思路是将 k 化成二进制形式，即 k = 2⁰ + 2¹ + …… 2ⁿ， 那么求 a^k 可以分解成求 a ^ 2⁰ * a ^ 2¹ * a ^ 2² …… * a ^ 2ⁿ，比如说求a⁵可分解成 a ^ (2⁰ + 2²)。如此，我们只需要对k进行操作即可，在循环中，每一次判断k的二进制末尾是0还是1，即if(k & 1)，如k & 1为true表示末尾为1其二进制表达下有值，我们用结果变量 res 与 a 相乘同时将结果对p取模，所得即为其中一个因数的值。然后我们更新a的值即a = a * a % p，更新为相应的二进制下一位的值，这里取模不会影响最终结果，还能防止溢出，而且由于k的最后一位已经用过我们将k向右移一位更新其二进制表示下末位的值。详见如下代码。

代码 ：

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	while (n -- ) {
		LL a, b, p;
		cin >> a >> b >> p;
		LL res = 1;
		while (b) {
			if (b & 1) res = res * a % p;
			a = a * a % p;
			b >>= 1;
		}
		cout << res << endl;
	}
	return 0;
} 

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下面我们给出快速幂的模板

求 m^k mod p，时间复杂度 O(logk)。

int qmi(int m, int k, int p)
{
    int res = 1 % p, t = m;
    while (k)
    {
        if (k&1) res = res * t % p;
        t = t * t % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}