LeetCode 4 寻找两个正序数组的中位数

• 结果

• 分析

    题目要求的时间复杂度是log(m + n)，如果不对时间复杂度做要求可以使用双指针对数组进行遍历即可。

    我们把这个题转换成查找第K小整数，解题思路如下：   

    首先声明，下面的思路非常值得反复复习。

    假设我们要找第 7 小的数字。

       我们比较两个数组的第 k/2 个数字，如果 k 是奇数，向下取整。也就是比较第 3 个数字，上边数组中的 4 和下边数组中的 3，如果哪个小，就表明该数组的前 k/2 个数字都不是第 k 小数字，所以可以排除。也就是 1，2，3 这三个数字不可能是第 7小的数字，我们可以把它排除掉。将 1349 和 45678910两个数组作为新的数组进行比较。    

      更一般的情况 A[1] ，A[2] ，A[3]，A[k/2] ... ，B[1]，B[2]，B[3]，B[k/2] ... ，如果 A[k/2]

      橙色的部分表示已经去掉的数字。

      

        由于我们已经排除掉了 3 个数字，就是这 3 个数字一定在最前边，所以在两个新数组中，我们只需要找第 7 - 3 = 4 小的数字就可以了，也就是 k = 4。此时两个数组，比较第 2 个数字，3 < 5，所以我们可以把小的那个数组中的 1 ，3 排除掉了。

        我们又排除掉 2 个数字，所以现在找第 4 - 2 = 2 小的数字就可以了。此时比较两个数组中的第 k / 2 = 1 个数，4 == 4，怎么办呢？由于两个数相等，所以我们无论去掉哪个数组中的都行，因为去掉 1 个总会保留 1 个的，所以没有影响。为了统一，我们就假设 4 > 4 吧，所以此时将下边的 4 去掉       

       

       由于又去掉 1 个数字，此时我们要找第 1 小的数字，所以只需判断两个数组中第一个数字哪个小就可以了，也就是 4。

        所以第 7 小的数字是 4。

注意，我们每次都是取 k/2 的数进行比较，有时候可能会遇到数组长度小于 k/2的时候。

      此时 k / 2 等于 3，而上边的数组长度是 2，我们此时将箭头指向它的末尾就可以了。这样的话，由于 2 < 3，所以就会导致上边的数组 1，2 都被排除。造成下边的情况。

     由于 2 个元素被排除，所以此时 k = 5，又由于上边的数组已经空了，我们只需要返回下边的数组的第 5 个数字就可以了。

     从上边可以看到，无论是找第奇数个还是第偶数个数字，对我们的算法并没有影响，而且在算法进行中，k 的值都有可能从奇数变为偶数，最终都会变为 1 或者由于一个数组空了，直接返回结果。

     所以我们采用递归的思路，为了防止数组长度小于 k/2，所以每次比较 min(k/2，len(数组) 对应的数字，把小的那个对应的数组的数字排除，将两个新数组进入递归，并且 k 要减去排除的数字的个数。递归出口就是当 k=1 或者其中一个数字长度是 0 了。

• 代码

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector& nums1, vector& nums2) {
        int len1 = nums1.size();
        int len2 = nums2.size();
        int index = (len1 + len2)/2;
        if((len1 + len2) % 2 != 0){
            return getKMinNum(nums1, 0, len1 - 1, nums2, 0, len2 - 1,index + 1);
        }else{
            return (getKMinNum(nums1, 0, len1 - 1, nums2, 0, len2 - 1,index) + getKMinNum(nums1, 0, len1 - 1, nums2, 0, len2 - 1, index + 1))*0.5;
        }
    }

    int getKMinNum(vector &nums1, int start1, int end1, vector &nums2, int start2, int end2, int k){
        int len1 = end1 - start1 + 1;
        int len2 = end2 - start2 + 1;  
        //始终保证num1的长度比nums2的长度短，这样当有一个“删除“完毕，一定是nums1      
        if(len1 > len2) return getKMinNum(nums2, start2, end2, nums1, start1, end1, k);        
        if(len1 == 0) return nums2[start2 + k - 1];
        if(k == 1) return min(nums1[start1], nums2[start2]);

        int i = start1 + min(len1, k/2) - 1;
        int j = start2 + min(len2, k/2) - 1;
        if(nums1[i] > nums2[j]){
            return getKMinNum(nums1, start1, end1, nums2, j + 1, end2, k - (j + 1 - start2));
        }else{
            return getKMinNum(nums1, i + 1, end1, nums2, start2, end2, k - (i + 1 - start1));
        }
    }
};