数据结构 图
树是无环连通图，是一种特殊的图。
分类
图分为有向图[边是有方向的]和无向图[边是无方向的]。
无向图(a—b)，建立两条有向图(a—>b，b—>a)，无向图是一种特殊的有向图。
存储有向图
邻接矩阵 ——用于存储比较稠密的图【O(n^2)】
开一个二维数组，g[a,b]，a—>b；如果有权重，存权重，如果没有权重，就是布尔值；不能存储重边。
邻接表
n个点，每个点都有一个单链表，每个点的单链表存储该点可以到达的点，单链表内部点的顺序不重要。
//插入a—>b的边，在a所对应的单链表中插入b
void add(int a, int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
有向图的遍历
宽度优先遍历
一层一层搜索
框架
queue ＜—— 将起始状态插入队列中，即将1号点插入队列
while （queue 不空）{
t 每次取队头元素
拓展 t 所有能到的点 x
if（x 未被遍历）{
queue <——x 将 x 入队
d[x]=d[t]+1
}
}
例题——图中点的层次
给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环。
所有边的长度都是1，点的编号为1~n。
请你求出1号点到n号点的最短距离，如果从1号点无法走到n号点，输出-1。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
接下来m行，每行包含两个整数a和b，表示存在一条从a走到b的长度为1的边。
输出格式
输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离。
数据范围
1≤n,m≤10^5
输入样例
4 5
1 2
2 3
3 4
1 3
1 4
输出样例
1
代码
#include
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int d[N], q[N];
void add(int a, int b) {//插入函数
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
int bfs() {
int hh = 0, tt = 0;
q[0] = 1;
memset(d, -1, sizeof d);//初始化距离，-1代表未被初始化
d[1] = 0;
while (hh <= tt) {//判断队列是否为空
int t = q[hh++];//取队头
for (int i = h[t];i != -1;i = ne[i]) {//扩展队头
int j = e[i];
if (d[j] == -1) {
d[j] = d[t] + 1;
q[++tt] = j;
}
}
}
return d[n];
}
int main() {
cin >> n >> m;
memset(h, -1, sizeof h);//初始化表头
for (int i = 0;i < m;i++) {
int a, b;
cin >> a >> b;
add(a, b);
}
cout << bfs() << endl;
} 深度优先遍历
找到一个起点，然后从这个 起点开始，一条路走向黑
邻接表的深度优先遍历
主函数：
for(int i=0;i
dfs：
利用图中结点的编号进行搜索，e存图中结点的编号
int h[N], e[M], ne[M], idx;//h存n个链表的链表头，e存每个结点的值是多少，ne存每个结点的next值
bool st[N];
//树和图的深度优先搜索
void dfs(int u) {//u是当前dfs到的点
st[u] = true;//标记一下，已经被搜过了
for (int i = h[u];i != -1;i = ne[i]) {//遍历u的所有出边
int j = e[i];//链表中该点在图中的编号
if (!st[j])//如果j没有被搜过，那么就进行搜索
dfs(j);
}
例题——树的重心
给定一颗树，树中包含n个结点（编号1~n）和n-1条无向边【无向图】。
请你找到树的重心，并输出将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。
重心定义：重心是指树中的一个结点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个节点被称为树的重心。
输入格式
第一行包含整数n，表示树的结点数。
接下来n-1行，每行包含两个整数a和b，表示点a和点b之间存在一条边。
输出格式
输出一个整数m，表示重心的所有的子树中最大的子树的结点数目。
数据范围
1≤n≤10^5
输入样例
9
1 2
1 7
1 4
2 8
2 5
4 3
3 9
4 6
输出样例
4
代码
#include
#include
using namespace std;
const int N = 100010, M = N * 2;
int n;
int h[N], e[M], ne[M], idx;//h存n个链表的链表头，e存每个结点的值是多少，ne存每个结点的next值
bool st[N];
int ans = N;//答案，存最小的最大值
//插入a—>b的边，在a所对应的单链表中插入b
void add(int a, int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
//树和图的深度优先搜索
int dfs(int u) {//u是当前dfs到的点,返回以u为根的子树中，点的数量【以u为根的子树的大小】
st[u] = true;//标记一下，已经被搜过了
int sum = 1, res = 0;//res存删去重心后，每一个连通块大小的最大值；sum存当前子树的大小
for (int i = h[u];i != -1;i = ne[i]) {//遍历u的所有初边
int j = e[i];//链表中该点在图中的编号
if (!st[j]) {//如果j没有被搜过，那么就进行搜索
int s = dfs(j);//当前子树的大小
res = max(res, s);//当前子树是一个连通块，所以与之前连通块的最大值进行比较
sum += s;//以u的子结点为根结点的子树是以u为根结点子树的一部分
}
}
res = max(res, n - sum);
ans = min(ans, res);
return sum;
}
int main() {
cin >> n;
memset(h, -1, sizeof h);//邻接表初始化，头指向-1
for (int i = 0;i < n - 1;i++) {
int a, b;
cin >> a >> b;
add(a, b);
add(b, a);
}
dfs(1);//可以从任意点开始搜
cout << ans << endl;
return 0;
} 特殊的图——树[无环连通图]
概念
在计算器科学中，树（英语：tree）是一种抽象数据类型或是实现这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
结点
指树中的一个元素；
结点的度
指结点拥有的子树的个数，二叉树的度不大于2；
树的度
指树中的最大结点度数；
叶子
度为0的结点，也称为终端结点；
高度
叶子节点的高度为1，根节点高度最高；
层
根在第一层，以此类推；
特点
一个父结点可以有多个子结点，一个子结点只能有一个父结点，多个子结点对应一个父结点。
①每个节点有零个或多个子节点；
②没有父节点的节点称为根节点；
③每一个非根节点有且只有一个父节点；
④除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；
二叉树
概念
每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树。（我们一般在书中试题中见到的树是二叉树，但并不意味着所有的树都是二叉树。）
性质
1：二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点
2：深度为k的二叉树，至多有2^k-1个结点
满二叉树
除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有节点都有两个子节点。也可以这样理解，除叶子节点外的所有节点均有两个子节点。节点数达到最大值，所有叶子节点必须在同一层上。
完全二叉树
若设二叉树的深度为h，除第h层外，其它各层 (1～(h-1)层) 的节点数都达到最大个数（即节点均满），第h层所有的节点都连续集中在最左边（虽然最下面一层节点不满，但是所有节点在左边连续排列，空位都在右边），这就是完全二叉树。
性质
- 结点 i 的子结点为 2*i 和 2*i+1 (前提是都小于总结点数)
- 结点 i 的父结点为 i/2
- 如果n个节点的完全二叉树的节点按照层次并按从左到右的顺序从0开始编号：
-
- 序号为0的节点是根
- 对于 i>0，其父节点的编号为（i-1）/2
- 若 2*i+1
- 若 2*i+2
- 若 2*i+2
遍历
深度优先遍历
按照一条路径尽可能的向前探索，直至检查完一个叶节点。
先序和中序可以唯一确定一个树【在先序中找父结点，在中序确定位置，得到左子树和右子树】
中序和后序可以唯一确定一个树【在后序中找父结点，在中序确定位置，得到左子树和右子树】
先序和后序不能唯一确定一个树【不能确定左子树和右子树的情况】
这三种遍历方法只是访问结点的时机不同，访问结点的路径都是一样的，时间和空间复杂度皆为O(n)
先序 根->左子树->右子树
父 左->右
先输出父节点，然后从左到右输出子节点
中序 左子树->根->右子树
先输出左节点，然后输出父节点，最后输出右节点
后序 左子树->右子树->根
先输出左节点，然后输出右节点，最后输出根节点
宽度优先搜索
在所有路径上齐头并进，按照路径长度由近到远访问节点，即按照二叉树的层数逐层访问树中的节点。
例题
先序：10 6 5 2 7 14 18 17 19
中序：2 5 6 7 10 14 17 18 19
后序：2 5 7 6 17 19 18 14 10
层次：10 6 14 5 7 18 2 17 19
作用
高效地存储和查找字符串集合的数据结构
适用于字符类型不多的字符串
如何存储字符串集合
有一个根节点，但该节点不存放数据。
存储的时候，应该在每个单词的结尾做标记，表示以该字母结尾的结点有一个单词。防止查找时，误以为该树存储了该字符串的子串。例如，树中存储“abcd”，若没有做标记，在查找“abc”是否在树中时，容易误以为该串存在，做标记后，查找到最后一个字符时，应该检测是否有结束标志，若没有则不存在。
如何查找
从根结点开始，挨个字符在对应层上寻找，若找到就继续向下一层找对应的字符，直到找到最后一个字符，观察字符上是否有结束标记，若有则说明该树上存储了该字符串，若是没有则说明该树上没有存储。若是直接没在该层上找到对应的字符，则说明该树上没有存储。
模板
数据含义
- 整型 idx 用于给所有的存入树的字符进行编号，idx = 0 既表示根节点，又表示空节点（根节点不存数据）
- 数组 cnt 用于表示以某个 idx 表示的字符为结尾的字符串的个数
- 二维数组 son 用于存储每个 idx 对应的所有子节点，在 son 中的元素值为0，表示空节点
son 数组中元素的值代表该节点的子节点所在的位置，即 son 数组的高维度的编号。【son[a][b]=c表示该节点的子节点位于son[c]中】例如，先后存入 abc、abcd、abd、bcd。
为什么 son 不能存储每一层的字母，而是使用这种方式存储？
如果 son 存储每一层的字母，则分不清该字母是哪一个节点下的子节点了。
存储
每次存储字符串都是从根节点开始存储。当存储一个字符时，就应该给该字符编号，并根据编号跳到 son 中编号对应的那一层【将一维置为该编号】，该层存储该编号的所有子节点。当存储到字符串的最后一个字符时，应将该字符的编号作为 cnt 数组的下标，令该元素自身数据自增，表示以该编号所表示的字符为结尾的字符串个数+1，即表示该树上存储了多少个相同的字符串。
//存储
void insert(char str[]) {
int p = 0;//根节点是0
for (int i = 0;str[i];i++) {//从根节点开始，从前往后遍历
//因为字符串的最后一个字符是空字符，所以可以使用空字符判断该字符串是否到达末尾
int u = str[i] - 'a';//将“a~z”映射成“0~25”
if (!son[p][u]){//如果p这个节点不存在u这个儿子，就将其创造出来
++idx;
son[p][u] = idx;//写成son[p][u]=++idx;是未定义行为，一个序列点对应两个副作用
}
p = son[p][u];
}
cnt[p]++;//表示以p点结尾的单词数多了一个
}查找——返回字符串出现的次数
查找和存储思路一样，只是发现没存储该字符就直接返回0，表示没存储该字符串，存储该字符时才跳转。
int query(char str[]){
int p=0;
for(int i=0;str[i];i++){
int u=str[i]-'a';
if(!son[p][u])
return 0;//不存在该字符串时直接返回0
p=son[p][u];
}
return cnt[p];
}输出——遍历输出树中所有的字符串
使用 dfs ，将当前的字符编号作为参数传入，表示要遍历该层26个字符，使用一个 string 存储当前遍历所组成的字符串，若遍历到某个字符存在树中，则将其放在 string 的末尾，并检测是否在以该字符编号为结尾的字符串，如果存在则输出。之后以其子节点层数编号作为新的参数执行 dfs 。当26个字符都没有存储在树中，则说明该路径上的所有的字符串遍历完成，应该进行回退，回退到上一层时，应将 string 的最后一个字符删去。之后遍历该层其他字符。
string temp;
void dfs(int p){
for(int i=0;i<26;i++){
if(son[p][i]){
char tp[2]={'a'+i};
temp.append(tp);
if(cnt[son[p][i]]){
cout<例题——Trie字符串统计
维护一个字符串集合，支持两种操作：
“I x”向集合中插入一个字符串x；
“Q x”询问一个字符串在集合中出现了多少次。
共有N个操作，输入的字符串总长度不超过 10^5，字符串仅包含小写英文字母。
输入格式
第一行包含整数N，表示操作数。
接下来N行，每行包含一个操作指令，指令为”I x”或”Q x”中的一种。
输出格式
对于每个询问指令”Q x”，都要输出一个整数作为结果，表示x在集合中出现的次数。
每个结果占一行。
数据范围
1≤N≤2∗10^4
输入样例
5
I abc
Q abc
Q ab
I ab
Q ab
输出样例
1
0
1
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
int son[N][26], cnt[N], idx;//下标是0的点，既是根结点，又是空结点
//cnt 存以当前这个点结尾的单词有多少个
char str[N];
//存储
void insert(char str[]) {
int p = 0;
for (int i = 0;str[i];i++) {
int u = str[i] - 'a';
if (!son[p][u])//如果p这个结点不存在u这个儿子，就将其创造出来
son[p][u] = ++idx;
p = son[p][u];
}
cnt[p]++;
}
//查询
int query(char str[]) {
int p = 0;
for (int i = 0;str[i];i++) {
int u = str[i] - 'a';
if (!son[p][u])
return 0;
p = son[p][u];
}
return cnt[p];
}
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
while (n--) {
char op[2];
scanf("%s%s", op, str);
if (op[0] == 'I')
insert(str);
else
printf("%d\n", query(str));
}
return 0;
}