MIT_线性代数笔记：第 01 讲 行图像和列图像

线性方程的几何图像

线性代数的基本问题就是解 n 元一次方程组。例如：二元一次方程组

行图像

列图像

在列图像中，我们将系数矩阵写成列向量的形式，则求解原方程变为寻找列向量的线性组合（linear combination）来构成向量 b。

向量线性组合是贯穿本课程的重要概念。对于给定的向量 c 和 d 以及标量 x 和y，我们将 xc+yd 称之为 c 和 d 的一个线性组合。
从几何上讲，我们是寻找满足如下要求的 x 和 y，使得两者分别数乘对应的列向量之后相加得到向量$\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$
其几何图像如下图。

将以上讨论扩展到三元。

方程的行图像比较复杂，每一个方程都是三维空间内的一个平面，方程组的解为三个平面的交点。


那么问题来了，是否对于所有的 b，方程 Ax=b 都有解？
从列图像上看，问题转化为“列向量的线性组合是否覆盖整个三维空间？” 反例：若三个向量在同一平面内——比如“列 3”恰好等于“列 1”加“列 2”，而若 b 不在该平面内，则三个列向量无论怎么组合也得不到平面外的向量 b。此时矩阵 A 为奇异阵或称不可逆矩阵。在矩阵 A 不可逆条件下，不是所有的 b 都能令方程 Ax=b 有解。
对 n 维情形则是，n 个列向量如果相互独立——“线性无关”，则方程组有解。否则这 n 个列向量起不到 n 个的作用，其线性组合无法充满 n 维空间，方程组未必有解。

矩阵与向量的乘法