迪杰斯特拉算法（dijkstra）_朴素版_堆优化版

Dijkstra算法

适用于单源最短路且边权都为正数

例：输入有向图/无向图，输出n号点到1号点的最短距离

①朴素版（适用于稠密图）

• 初始化距离

  dist[1] = 0;  //1为起点
  dist[i] = 正无穷;
  

• Si记为当前已确定最短距离的点

  for i : 0 ~ n
      t <- 不在S中的距离最短的点
      S <- t
      用t更新其它点到源点的距离
  

具体实现

输出1号点到n号点的最短距离

用二维数组存有向图

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int N = 510;

int n,m;
int g[N][N],dist[N];
bool st[N];

int dijkstra()
{
    //初始化
    memset(dist,0x3f3f3f3f,sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)    //共n个点，需要将n个点距离起点的距离都更新为最短距离，都需要加入Si
    {
        int t = -1;
        //找出不在S中但距离最短的
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(!st[j] && ( t == -1 || dist[t] > dist[j]))
            {
                t = j;
            }
        }
        st[t] = true;   //加入S
        //用该点t更新其他点的距离
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j])
        }
    }
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    memset(g,0x3f,sizeof g);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        int x,y,z;
        cin >> x >> y >> z;
        g[x][y] = z;
    }
    int t = dijkstra();
    cout << t << endl;
    return 0;
}

时间复杂度 O(n^2)

当点数为100000时，用该算法超时

②堆优化版

用小根堆来查找不在S中的距离最短的点

复杂度O(mlogn)
（小根堆的最大为m，修改堆中数O(logn) ）

具体实现

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 1e6 + 10;

int e[N],ne[N],h[N],w[N],idx;
int n,m;
int dist[N];
bool st[N];

//邻接表存图
void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int dijkstra()
{
    //初始化
    memset(dist,0x3f3f3f3f,sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > heap;
    heap.push({0,1});    //将起点加入堆，pii第一个数代表距离起点的距离，第二个代表序号，这样可以使小根堆按照距离排序
    
    //影响size的在于push操作，每次push都是加入距离最短的点，是比在遍历边发生时，最多等于
    while(heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        int distance = t.first, ver = t.second;
        
        //对于同一个点的多个距离，只有最短距离是有用的，距离最短的弹出后其余的距离无用，属于冗余，直接跳过即可。
        if(st[ver]) continue;  
        st[ver] = true;
        
        for(int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
        		//w[i]中i代表idx，w[i]表示j到ver的权重
            int j = e[i];
            //distance == dist[ver]
            if(dist[j] > distance + w[i])
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin >> n >> m;
    while(m--)
    {
        int x,y,z;
        cin >> x >> y >> z;
        add(x,y,z);
    }

    cout << dijkstra();
    
    return 0;
}