Author: Richard Karp(1972)
Abstract
有大量的计算问题涉及到确定无向图、有向图、整数、整数数组、有限集的有限族、布尔公式和其他可数域的元素的性质。通过将这些域简单地编码成有限的字母表上的单词集合，就可以将这些问题转化为语言识别问题，并探究它们的计算复杂度。当一个求解该问题的算法能在关于输入长度的多项式步内结束，那么我们有理由认为这个问题已经圆满地解决了。我们证明了大量经典的、未解决的覆盖问题、匹配问题、背包问题、路径问题、赋值问题和排序问题是等价的——它们要么都具有多项式时间为界的算法，要么都没有。
Introduction
目前所有已知的，用于计算图的色数、判断图是否有 Hamilton 回路或解决 0-1 整数规划的算法，都需要用到组合搜索，最坏情况下时间复杂度是指数级的。在本文中，我们给出了一些定理，它们有力地显示（但并不绝对地证明）了这些问题以及其他许多问题，将永远是棘手的。
我们对多项式时间复杂度的算法的存在非常感兴趣。我们展示了一类著名的组合问题（包括上面提到的那些），它们是等价的——这也就是说，对它们中的任何一个问题的多项式复杂度的算法，都能有效地生成一个对所有问题多项式复杂度的算法。我们还证明了，如果这些问题确实具有多项式有界算法，那么一个出人意料地宽泛的类中的所有问题（粗略地说，可由多项式深度的回溯搜索解决的一类问题）都具有多项式时间的算法。
下面是对论文内容的简要总结。为了使论述明晰，我们用于识别语言的技术是单磁带图灵机，不过其实使用其他任何种类的抽象计算模型都会得出一致的结论。设 为所有由 和 组成的有限二进制字符串的集合，则 的一个子集称为一种语言。设 为能在多项式时间内被确定性单磁带图灵机识别的语言的集合，而 为能在多项式时间内被非确定性单磁带图灵机识别的语言的集合。设 为单磁带图灵机可在多项式时间内计算的函数 的集合。设 为语言。我们称 （ 可规约为 ）若 。若，则称 和 等价。若 ，则 。称 L 为(多项式)完全的，若 ，且 中所有语言均可规约为 。完全的语言要么全部在 中，要么全部不在；前者成立当且仅当 。
本文的主要贡献在于证明了数学规划、图论、组合数学、计算逻辑和交换理论等领域中出现的大量经典难计算问题，在自然表达为语言识别问题时是完全的（因此是等价的）。
本文受到 Stephen Cook 工作(1971)的启发，基于他论文中提出的一个重要定理。作者还要感谢 Eugene Lawler 和 Robert Tarjan 所作的重大贡献。
The Class P
有大量的计算问题涉及到确定图、有向图、整数、整数数组、有限集的有限族、布尔公式和其他可数域的元素的性质。当且仅当存在多项式时间复杂度的算法时，一个问题才会被认为是“容易解的”，这个合理的假设最初被杰克·埃德蒙兹(1965)赞成采纳于图论和整数规划问题上，现在被广泛接受的。在本节中，我们介绍并开始研究这类多项式时间内可解决的问题。
首先，我们给出一个关于“确定性算法”的非常具有一般性的定义，计算一个函数，其中 均为可数集。
设 是一个有限的字符表， 为由 中元素组成的有限长度的字符串组成的集合。对于 ，设 为 的长度。
确定性算法 由如下五条规定：
1. 可数集定义域 ；
2. 可数集值域 ；
3. 有限字符表 ，且；
4. 编码函数 ；
5. 转移函数 ；
对于每一个输入 ， 的计算为一个独一无二的序列，其中，而，如果这个序列是有限的，且结尾是 ，那么 。任何一个作为计算中的元素出现的字符串都称为瞬时（instantaneous）描述。如果对于输入 ，算法 （步骤）有限且结束长度为 ，那么称 为 输入 时的运行时长。如果 的所有计算都是有限的，那么它就是可终止的（terminating）。可终止的算法 计算函数 ，使得 是 输入 时计算时（字符串序列）的最后一个元素。
如果 ，那么 称为识别算法。若一个识别算法的定义域 ，那么称之为字符串识别算法。若 是一个字符串识别算法，那么被 识别的语言组成集合 。如果 ，那么 称为字符串映射函数。当对于可终止算法 存在多项式 使得 时，其为多项式时间的算法。
要在实际环境中讨论算法，我们必须特化确定性算法的概念。将函数 和 限定为一些非常简单的类型，就能描述出各种著名的字符串识别算法类（马尔科夫算法类、单磁带图灵机类，多磁带和多磁头图灵机类，随机存取计算机类等）。这些标准的定义【Hopcroft & Ullman 1969】这里将不再重复。到目前为止，可以看到许多这样的算法类在识别语言的能力上显然是等价的；对于每一个算法类，被其识别的语言类为递归语言。定义变化时这种不变性，是递归性（recursiveness）可以表述可判定性这一概念的部分证据。
能被多项式时间内运行的字符串识别算法所识别的语言类别，在算法类别的大范围变化下也是不变的。例如，任何由多磁头或多磁带图灵机在时间 上可识别的语言，都可以由单磁带图灵机在时间 上可识别。因此，单磁带图灵机在多项式时间内能识别的语言类，与看起来更强大的多磁头或多磁带图灵机识别的语言类是相同的。这个结论同样适用于随机存取计算机。
【Definition ①】 是可以在多项式时间内被单磁带图灵机识别的语言类。
【Definition ②】 是可以在多项式时间内由单磁带图灵机执行的函数类。
读者如果将 视为数字计算机（假设其存储空间无限）可识别的语言，或将 视为在数字计算机上可在多项式时间内进行的字符串映射函数，也没什么错。
【Remark】若 ，那么存在多项式 使得 。
接下来，我们将介绍一个“可归约性”的定义，这在本文中至关重要。
【Definition ③】设 为语言，若 ，使得 ，那么称 可规约于 ，记作 。
【Lemma ①】若 ，且 ，则 。
证明：如下给出识别字符串 与否的多项式时间的算法
计算 ，然后判断 是否成立。
该算法分为两步，每一步都是多项式时间内完成的，因而整体为多项式时间的算法。
我们对识别除 以外的可数域子集的难度感兴趣。给定一个可数域 ，一般自然存在一个一对一的编码 。比如，我们可以用 和 组成的字符串来二进制表示一个整数，用一个一维数组表示一列整数，用一个矩阵表示一列一维数组，等等。有一些标准的方法，可以把列表编码成有限字母上的字符串，也可以把任意有限字母上的字符串编码成 和 的字符串。给定编码方式 ，当 满足 ，我们称 可以在多项式时间内被识别；对于 ，给定 ，若 ，则 。
通常，对于一个给定的域，有许多可能的自然编码。例如，图的表示形式可以是邻接矩阵、关联矩阵或边对应的无序节点对列表。即便给定其中一种表示形式，表示的格式和标点符号也仍然存在有很多可能的选择。幸运的是，给定问题的两种“合理”编码 几乎显而易见地是等价的；也就是说，。一个重要的例外是正整数的表示：我们规定正整数的编码是用二元（binary）表示，而不是一元（unary）表示。考虑到多项式时间内的可识别性的不变性和合理编码下的可约性，我们可以直接在问题原始的域中讨论问题，而不需要在 中特别指定编码。
我们列出一些多项式时间内可解的问题来作为本节的结尾。在下一节中，我们将研究这些问题的一些密切相关的，但不知道在多项式时间内是否是可解的问题。我们使用的符号见附录一。
每个问题都会给出其定义域的元素的一般表示（在“INPUT”下）和输入被 需要满足的条件（在“PROPERTY”下）。
【SATISFIABILITY WITH AT MOST 2 LITERALS PER CLAUSE】布尔满足性问题 [Cook 1971]
INPUT：子句 ，每一个都有两个字面值。
PROPERTY：每个输入子句的连接方式是可满足的；即存在 使得： 不能含有一对相反的字面值（翻译注：即不能同时含有 ）且。
【MINIMUM SPANNING TREE】最小生成树问题 [Kruskal 1956]
INPUT：。
PROPERTY：存在一个生成树，总权值小于等于 。
【SHORTEST PATH】最短路径问题 [Dijkstra 1959]
INPUT：。
PROPERTY： 之间有路径小于权值小于 。
【MINIMUM CUT】最小割集问题 [Edmonds & Karp 1972]
INPUT：。
PROPERTY：将 和 分割开的割集总权值小于等于 。
【ARC COVER】最小边覆盖问题 [Edmonds 1965]
INPUT：。
PROPERTY：存在边覆盖 ，。
【ARC DELETE】边删除问题
INPUT：。
PROPERTY：存在包含 条边的边集，将它们从图中删除后得到 ，使得 中不存在环路。
【BIPARTITE MATCHING】二部图匹配问题 [Hall 1948]
INPUT：。
PROPERTY： 有 个元素，且任意两个元素不相等。
【SEQUENCING WITH DEADLINES】 一串串的DDL 最优排序问题
INPUT：工作时长 ，工作截止时间 ，。
PROPERTY：从 时刻开始，安排工作的顺序，存在一种工作顺序安排使得超过截止时间的工作不超过 个。
【SOLVABILITY OF LINEAR EQUATIONS】线性方程的可解性
INPUT：。
PROPERTY：存在向量 使得对任意 ， 成立。