《数据结构》习题1

√武汉大学计算机学院2010年-2011学年第二学期"数据结构"考试试题

一、单项选择题

1. 数据结构是指___。
A. 一种数据类型
B. 数据的存储结构
C. 一组性质相同的数据元素的集合
D. 相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合

2. 以下算法的时间复杂度为___。

void fun(int n)
{	int i=1;
	while (i<=n)
		i++;
}

A. $O(n)$
B. $O(\sqrt{n})$
C. $O(nlo{g}_2^n)$
D. $O(lo{g}_2^n)$

3. 设n是描述问题规模的正整数，则下列程序片段的时间复杂度是___。

i = n * n;
while(i != 1)
	i = i / 2;

A.$O(lo{g}_2^n)$
B.$O(n)$
C.$O(\sqrt{n})$
D.$O(n^2)$

• 这里可以转换一种思维，看成是从i=1开始，每次乘2直到n²。即有$2^x=n^2\to x=lo{g}_2{n}^2=2lo{g}_2^n$

4. 在一个长度为n的有序顺序表中删除元素值为x的元素时，在查找元素x时采用二分查找，此时的时间复杂度为___。
A. $O(n)$
B. $O(nlo{g}_2^n)$
C. $O(n^2)$
D. $O(\sqrt{n})$

• 二分查找也称折半查找，其时间复杂度为$O(lo{g}_2^n)$。当查找到该元素时，删除此元素最好的时间复杂度为$O(1)$(删除的元素在表尾)，最坏的时间复杂度为$O(n)$(删除的元素在表头)。

5. 在一个带头结点的循环单链表L中，删除元素值为x的结点，算法的时间复杂度为___ 。
A. $O(n)$
B. $O(\sqrt{n})$
C. $O(nlo{g}_2^n)$
D. $O(n^2)$

6. 若一个栈采用数组s[0…n-1]存放其元素，初始时栈顶指针为n，则以下元素x进栈的正确操作是___。
A.$top++;s[top]=x$;
B.$s[top]=x;top++$;
C.$top--;s[top]=x$;
D.$s[top]=x;top--$;

7. 中缀表达式“$2\ast (3+4)-1$”的后缀表达式是___，其中#表示一个数值的结束。
A. 2#3#4#1#*+-
B. 2#3#4#+*1#-
C. 2#3#4#*+1#-
D. -+*2#3#4#1#

8. 设环形队列中数组的下标为0～N-1，其队头、队尾指针分别为front和rear(front指向队列中队头元素的前一个位置，rear指向队尾元素的位置)，则其元素个数为 ___。
A. rear-front
B. rear-front-1
C. (rear-front)％N+1
D. (rear-front+N)％N

9. 若用一个大小为6的数组来实现环形队列，队头指针front指向队列中队头元素的前一个位置，队尾指针rear指向队尾元素的位置。若当前rear和front的值分别为0和3，当从队列中删除一个元素，再加入两个元素后，rear和front的值分别为___。
A. 1和5
B. 2和4
C. 4和2
D. 5和1

10. 一棵深度为h(h≥1)的完全二叉树至少有___个结点。
A. $2^{h-1}$
B. $2^h$
C. $2^{h+1}$
D. $2^{h-1}+1$

• 最少的情况即：前(h-1)层全满，第h层只有一个结点
• 最多的情况即：该树为满二叉树，此时共有$2^h-1$个结点

11. 一棵含有n个结点的线索二叉树中，其线索个数为___。
A. 2n
B. n-1
C. n+1
D. n

12. 设一棵哈夫曼树中有1999个结点，该哈夫曼树用于对___个字符进行编码。
A. 999
B. 998
C. 1000
D. 1001

• 该题就是问有多少个叶子结点？
  对于具有n个叶子结点的哈夫曼树，共有2n-1个结点(2n-1=1999→n=1000)

13. 对于一组权值都相等的16个字母，构造相应的哈夫曼树，这棵哈夫曼树是一棵___。
A.完全二元树
B.一般二元树
C.满二元树
D.以上都不正确

• 哈夫曼树的构造过程是：每次选取两个权值最小的进行合并，该题中16个字母的权值都相同，则可任意选取。最后一层有16个结点，倒数第二层有8个结点…4、2…第一层有一个结点，该树是一棵满二叉树。

14. 一个含有n个顶点的无向连通图采用邻接矩阵存储，则该矩阵一定是___。
A. 对称矩阵
B. 非对称矩阵
C. 稀疏矩阵
D. 稠密矩阵

15. 设无向连通图有n个顶点e条边，若满足___，则图中一定有回路。
A. e≥n
B. e C. e=n-1
D. 2e≥n

16. 对于AOE网的关键路径，以下叙述___是正确的。
A. 任何一个关键活动提前完成，则整个工程一定会提前完成
B. 完成整个工程的最短时间是从源点到汇点的最短路径长度× (可能会存在回路)
C. 一个AOE网的关键路径一定是唯一的
D. 任何一个活动持续时间的改变可能会影响关键路径的改变

17. 哈希查找方法一般适用于___情况下的查找。
A. 查找表为链表
B. 查找表为有序表
C. 关键字集合比地址集合大得多
D. 关键字集合与地址集合之间存在着某种对应关系

18. 对含有n个元素的顺序表采用直接插入排序方法进行排序，在最好情况下算法的时间复杂度为___。
A. $O(n)$
B. $O(nlo{g}_2^n)$
C. $O(n^2)$
D. $O(\sqrt{n})$

• 直接插入排序最好的情况是：顺序表有序排列，此时每个元素只需与前一个元素进行一次比较，而不需要移动元素，时间复杂度为$O(n)$
  最坏的情况是：顺序表逆序排列，此时的时间复杂度为$O(n^2)$

19. 用某种排序方法对数据序列{24,88,21,48,15,27,69,35,20}进行递增排序，元素序列的变化情况如下：
（1）{24,88,21,48,15,27,69,35,20}
（2）{20,15,21,24,48,27,69,35,88}
（3）{15,20,21,24,35,27,48,69,88}
（4）{15,20,21,24,27,35,48,69,88}
则所采用的排序方法是___。
A. 快速排序
B. 简单选择排序
C. 直接插入排序
D. 归并排序

• 使用简单选择排序(2)的第一位应该为整个序列中的最小值
  使用直接插入排序(2)应该和(1)一样

20. 以下序列是堆的是___。
A. {75,65,30,15,25,45,20,10}
B. {75,65,45,10,30,25,20,15}
C. {75,45,65,30,15,25,20,10}
D. {75,45,65,10,25,30,20,15}

• A、B、C、D的第一个元素值75为序列中的最大值，因此这是一个大根堆。大根堆要满足$a_i>a_{2i}$并且$a_i>a_{2i+1}$。A中$a_3(30)<a_6(45)$；B中$a_4(10)<a_8(15)$；D同B，不符合大根堆

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二、问答题

1. 如果对含有n(n>1)个元素的线性表的运算只有4种：删除第一个元素；删除最后一个元素；在第一个元素前面插入新元素；在最后一个元素的后面插入新元素，则最好使用以下哪种存储结构，并简要说明理由。
   （1）只有尾结点指针没有头结点指针的循环单链表
   （2）只有尾结点指针没有头结点指针的非循环双链表
   （3）只有头结点指针没有尾结点指针的循环双链表
   （4）既有头结点指针也有尾结点指针的循环单链表

• 最好选择第(3)种存储结构(4种操作的时间复杂度均为O(1))
• 对于第(1)种存储结构而言，通过尾指针可以很方便的找到头结点指针，因此删除第一个元素的时间复杂为O(1)。但是要删除最后一个元素时，无法快速找到其前驱结点，只能通过一次遍历，此时的时间复杂度为O(n)。
• 对于第(2)种存储结构而言，无法快速找到头结点指针，只能通过尾指针逆向循环找到头结点指针，此时的时间复杂度为O(n)。
• 对于第(4)种存储结构而言，与第(1)种存储结构类似，删除最后一个元素时，所需的时间复杂度为O(n)。

2. 已知一棵度为4的树中，其度为0、1、2、3的结点数分别为14、4、3、2，求该树的结点总数n和度为4的结点个数，并给出推导过程。

• 树中的结点数等于所有结点的度数之和加1
  设度为4的结点个数为m，则$14+4+3+2+m=14\cdot 0+1\cdot 4+2\cdot 3+3\cdot 2+4\cdot m+1=n$
  解得结点总数n=25，度为4的结点个数m=2

3. 有一棵二叉排序树按先序遍历得到的序列为：(12,5,2,8,6,10,16,15,18,20)。回答以下问题：
   （1）画出该二叉排序树。
   （2）给出该二叉排序树的先序/中序。后序遍历序列。
   （3）求在等概率下的查找成功和不成功情况下的平均查找长度。

• 先序序列：(12,5,2,8,6,10,16,15,18,20)
• 中序序列：(2,5,6,8,10,12,15,16,18,20)
• 后序序列：(2,6,10,8,5,15,20,18,16,12)
  $AS{L}_{成功}=\frac{1\times 1+2\times 2+3\times 4+4\times 3}{10}=2.9$(分母为⚪结点总个数，分子为⚪当前层数×该层的⚪结点数的和)
  $AS{L}_{不成功}=\frac{3\times 5+4\times 6}{11}=\frac{39}{11}$(分母为⬜结点总个数，分子为⬜(当前层次-1)×该层的⬜结点数的和)

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三、算法设计题

1. 设A和B是两个结点个数分别为m和n的单链表(带头结点)，其中元素递增有序。设计一个尽可能高效的算法求A和B的交集，要求不破坏A、B的结点，将交集存放在单链表C中。给出你所设计的算法的时间复杂度和空间复杂度。

[！点击] 参考第8题(2) !该题改动了原线性表，因此时间复杂度为O(m+n)，空间复杂度为O(1)

• 此算法要求不破坏A、B的结点，因此时间复杂度为O(m+n)，空间复杂度为O(MIN(m+n))

void insertion(LinkList* A, LinkList* B, LinkList*& C)
{
	LinkList* p = A->next, * q = B->next, * s, * t;
	C = (LinkList*)malloc(sizeof(LinkList));
	t = C;
	while (p != NULL && q != NULL)
	{
		if (p->data == q->data)
		{
			s = (LinkList*)malloc(sizeof(LinkList));
			s->data = p->data;
			t->next = s;
			t = s;
			p = p->next;
			q = q->next;
		}
		else if (p->data < q->data) p = p->next;
		else q = q->next;
	}
	t->next = NULL;
}

2. 假设二叉树b采用二叉链存储结构，设计一个算法void findparent(BTNode *b,ElemType x,BTNode *&p)，求指定值为x的结点的双亲结点p。

void findparent(BTNode* b, ElemType x, BTNode*& p)
{
    if (b != NULL)
    {
        if (b->data == x) p = NULL; //根结点为指定结点
        else if (b->lchild != NULL && b->lchild->data == x) p = b; //指定结点为双亲结点的左孩子
        else if (b->rchild != NULL && b->rchild->data == x) p = b; //指定结点为双亲结点的右孩子
        else
        {
            findparent(b->lchild, x, p); //在左子树中递归查找
            if (p == NULL) findparent(b->rchild, x, p); //如果左子树中未找到，则递归在右子树中查找
        }
    }
    else p = NULL; //在b中未找到值为x的结点
}

3. 假设一个连通图采用邻接表G存储结构表示。设计一个算法，求起点u到终点v的经过顶点k的所有路径。

int In(int path[], int d, int k) //判断顶点k是否包含在路径中
{
	for (int i = 0; i <= d; i++)
		if (path[i] == k)
			return 1;
	return 0;
}

int visited[MaxVertexNum] = { 0 }; //全局变量，访问标记数组
void PathAll(AdjGraph g, int u, int v, int k, int path[], int d)
//d是到当前为止已走过的路径长度，调用时初值为-1
{
	int m, i;
	ArcNode* p;
	visited[u] = 1;
	d++;	//路径长度增1
	path[d] = u; //将当前顶点添加到路径中
	if (u == v && In(path, d, k) == 1) //输出一条路径
	{
		printf("  ");
		for (i = 0; i <= d; i++) printf("%d(%c) ", path[i], g.adjlist[path[i]].data);
		printf("\n");
	}
	p = g.adjlist[u].firstarc; //p指向顶点u的第一条弧的弧头节点
	while (p != NULL)
	{
		m = p->adjvex;	//m为u的邻接点
		if (visited[m] == 0)	PathAll(g, m, v, 1, path, d);	//若该顶点未标记访问,则递归访问之
		p = p->nextarc; //找u的下一个邻接点
	}
	visited[u] = 0; //恢复环境：使该顶点可重新使用
}

运行结果：

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四、附加题

假设某专业有若干个班，每个班有若干学生，每个学生包含姓名和分数，这样构成一棵树，如图1所示。假设树中每个结点的name域均不相同，该树采用孩子兄弟链存储结构，其结点类型定义如下：

typedef struct node
{	char name[50];				//专业、班号或姓名
	float score;				//分数
	struct node *child;			//指向最左边的孩子结点
	struct node *brother;		//指向下一个兄弟结点
} TNode;

完成以下算法：
（1）设计一个算法求所有的学生人数。
（2）求指定某班的平均分。

• 树采用孩子兄弟链存储结构，则根结点只有左子树而无右子树，根结点的左指针指向其第一个孩子，而第一个孩子的右指针连着第二个孩子…

(1)

int Count(TNode* b)
{
	if (b == NULL) return 0; //空树
	if (b->child == NULL) return 1; //只有根结点
	return count(b->child) + count(b->brother);
}

(2)

int Average(TNode* b, char class[], float& avg)
{
	int n = 0;
	float sum = 0;
	TNode* p = b->child; //p指向班号结点
	while (p != NULL && strcmp(p->name, class) != 0) p = p->brother; //查找指定的班号
	if (p == NULL) return 0; //没找到该班号，返回0
	p = p->child; //p指向该班的第一个学生
	while (p != NULL)
	{
		n++; //累计人数
		sum += p->score; //累计分数
		p = p->brother;
	}
	avg = sum / n; //求平均分
	return 1;
}