《矩阵论》学习笔记（一）：第一章 线性空间与线性变换

《矩阵论》学习笔记：第一章 线性空间与线性变换

第一章 线性空间与线性变换

一. 线性空间

二. 线性变换及其性质

三. 两个特殊的线性空间

1 欧氏空间

2 酉空间

1 线性空间及其性质

2 线性空间的基与坐标

3 基变换与坐标变换

4 线性子空间

1 线性变换及其运算

2 线性变换的矩阵表示

3 特征值与特征向量

4 对角矩阵

5 Jordan标准矩阵

一、线性空间

1.1 线性空间

1、基变换公式：
基1：$x_1,...,x_n$，坐标1：$({\zeta }_1,...,{\zeta }_n{)}^T$；
基2：$y_1,...,y_n$，坐标2：$({\eta }_1,...,{\eta }_n{)}^T$；
$(y_1,...,y_n)=(x_1,...,x_n)\ast C$；
$({\zeta }_1,...,{\zeta }_n{)}^T=C\ast ({\eta }_1,...,{\eta }_n{)}^T$.

1.2 线性变换及其矩阵

1.2.1 线性变换及其应用

考点：

考点	求解步骤
1、证明/判断是不是线性变换	验证T(kx=ly)=k(Tx)+l(Ty)成立
2、值域空间的基和维度	dim(R(T))+dim(N(T)) =n(线性空间维度)
2、核空间的基和维度	Ax=o求解基向量

1.2.2 线性变换的矩阵表示

考点	求解步骤
1、线性变换T在基下的各种变换	基组/线性变换T/基象组/矩阵A 4个来回捣腾（下表）
2、线性变换T在两个不同基下矩阵A/B(相似矩阵)	B=P^(-1)AP

线性变换T考点	求解步骤
1、已知线性变换表达式、一组基，求另一基下的矩阵A	对基向量做线性变换，得到的结果用基向量表示，系数构成矩阵A。
2、已知线性变换表达式、一组基，求T的特征值/向量	1）对基向量做线性变换，得到的结果用基向量表示，系数构成矩阵A； 2）对A求特征多项式。
3、已知线性变换表达式、一组基1，求T的另一组基2，使A’为三角阵	1）对基1向量做线性变换，得到的结果用基1向量表示，系数构成矩阵A； 2)对A求特征多项式得到特征向量作为待求基2； 3）再次 对基2向量做线性变换，得到的结果用基2向量表示，系数构成矩阵A‘。
对线性变换表达式的说明：	1）给定表达式：直接带入； 2）坐标的变化表达：借助线性变换同基坐标变换：$b=A\alpha$ 得到变换后坐标，再用基向量表达出来。

1.2.3 特征值和特征向量

考点	求解步骤
1、求线性变换T的特征值和特征多项式	7
2、矩阵A的最小多项式	$\phi (A)=0$

1.2.4 对角矩阵

考点	求解步骤
1、对线性变换T：已知基1 or 矩阵A， 求基2 or 对角矩阵	Jordan标准型 过渡矩阵

1.2.6 jordan标准型

考点	求解步骤
1、求矩阵A的jordan标准型	方法1、方法2

1.3 两个特殊的线性空间

1.3.1 欧氏空间

考点	求解步骤
1、标准正交基	Schmidt正交化过程
2、证明 T 是正交变换	先证T是线性变换，再证是正交变换

1.3.2 酉空间

未完

二、线性变换及其性质