【数据结构】树以及二叉树的概念

作者：一个喜欢猫咪的的程序员 

专栏：《数据结构》

喜欢的话：世间因为少年的挺身而出，而更加瑰丽。                                  ——《人民日报》

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目录

树的概念：

树的相关概念：

树如何表示：

兄弟孩子表示法：

二叉树的概念及结构：

二叉树的概念：

现实中的二叉树：

 特殊的二叉树：

二叉树的性质 ：

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树的概念：

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点，如上图的A
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

• 因此，树是递归定义的。

 注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

都不是树。第一个图是因为子树不能有交集。第二个和第三个图是除了根节点以外都只能有一个父节点。

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树的相关概念：

打√的较为重要。 

•  度就是该节点含有的子树个数，比如A的子树有6个，F的子树有3个。
• 叶节点就是就是没有子树的节点，如下图

•  终端节点（分支节点）：有子树的节点。如下图

 那根节点一定是分支节点吗？

那要看根结点的度是不是0，不是零那就它就是分支结点，否则就不是。

• 父节点就是，节点的上一个节点，比如E就是J的父节点。
• 字节就是节点的下一个节点，比如J就是E的子节点。
• 兄弟节点就是有相同父节点的两个节点，比如P和Q的父节点都是J，因此P和Q是兄弟节点。
• 树的度是整个数中所有节点中，最大度的节点的度数，比如上图这颗数的树的节点是6。
• 节点的层次是这样的，根节点的那一层为1，下一层为2，以此类推。

• 树的高度：为节点的层数的最大值。 
• 堂兄弟节点：就是当他们的父节点在同一层的两个节点叫做堂兄弟节点。

•  祖先：就是一个节点从他自身一直向上直到根节点，一路上经过的节点都叫祖先。以Q节点为例
•  子孙：以某一个节点向下走所有的节点都叫子孙，以E为例

•  森林：互不相交的节点的集合

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树如何表示：

兄弟孩子表示法：

我们用一个指针child指向孩子，来找到下一级，用一个指针brother指向兄弟节点来找到同层的节点。

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二叉树的概念及结构：

二叉树的概念：

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

• 或者为空
• 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

 1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

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现实中的二叉树：

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 特殊的二叉树：

• 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是  2^k-1，则它就是满二叉树。
• 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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二叉树的性质 ：

• 1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^（i-1） 个结点.
• 2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1 .
• 3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝n2 ＋1
• 4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2（n+1）
• 5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

2. 若2i+1=n否则无左孩子

3. 若2i+2=n否则无右孩子

性质1： 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^（i-1） 个结点.

 性质二：利用等比数列求和就好了。

 性质五可以用性质三进行推导。

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