素数

素数定义

素数是大于1的正整数，且除了1和它本身不能被其他正整数整除

素数无限定理 ：存在无穷多个素数

证明：
假设素数有限，设它们从小到大为$p1,p2,\dots \dots ,pn$
令$S$ = $p1p2\dots pn+1$
（1）若$S$为素数，$S$ > $p$${}_n$,与假设矛盾
（2）若$S$为合数，$S$不能被已知素数整除，与定义矛盾
故假设错误，素数是无限的

线性筛素数

void prime(int N) {
	for(int i = 1; i <= N; i++) {
		if(!vis[i]) prime[++cnt] = i;//没被筛掉，判为素数
		for(int j = 1; j <= cnt && i*prime[j] <= N; j++){//枚举素数
			vis[i * prime[j]] = 1; //标记合数
			if(i % prime[j] == 0) break;//每一个数都只被最小质因数筛掉
		}
	}
}

素数分布

设函数$\pi$（x）表示不超过正实数$x$的素数个数

素数定理： $\pi$（x）$\approx$$\frac{x}{lo{g}_x}$

筛素数开数组，开$\frac{1}{10}$的空间即可

算术基本定理

算术基本定理：每个大于 1 的正整数都可以被唯一地写成若干素数的乘积（不考虑负数）
把一个数写成素数相乘的形式的式子称为素因子分解式(连乘号)
n = $\prod$pi${}^{qi}$

约数个数定理：设 $n$ $=$ $\prod$pi${}^{qi}$，$n$的约数个数是$d（n）$ $=$ $\prod$$qi+1$

最大公约数和最小公倍数

a = $\prod$pi${}^{xi}$
b = $\prod$pi${}^{yi}$
(a,b) = gcd(a,b) = $\prod$pi${}^{min(xi,yi)}$
{a,b} = lcm(a,b) = $\prod$pi${}^{max(xi,yi)}$

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题目

求下列方程的正整数的解个数

$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{n}$

题解：

$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{n}$

$==>$ $(x-n)(y-n)=$$n^2$

求出 n 的素因子分解式，用约数个数定理算