【算法技巧】位运算

更多数据结构与算法的相关知识可以查看数据结构与算法这一专栏。

1.概述

（1）位运算是一种直接对二进制位进行操作的运算方式。它们是在计算机中对数据的底层操作，通常在位级别上进行，不考虑数据的整体值。在 Java 中，位运算符有以下几种：

• 与运算 (&)：对两个操作数的每一位进行与操作，只有当对应的位都为 1 时，结果为 1，否则为 0。
• 或运算 (|)：对两个操作数的每一位进行或操作，只要对应的位至少有一个为 1，结果为 1，否则为 0。
• 异或运算 (^)：对两个操作数的每一位进行异或操作，只有当对应的位不同时，结果为 1，否则为 0。
• 取反运算 (~)：对一个操作数的每一位进行取反操作，将 0 变为 1，将 1 变为 0。
• 左移运算 (<<)：将一个操作数的所有位向左移动指定的位数，低位补 0。
• 右移运算 (>>)：将一个操作数的所有位向右移动指定的位数，高位的处理取决于具体情况。
• 无符号右移运算 (>>>)：将一个操作数的所有位向右移动指定的位数，高位总是补 0。

（2）位运算常用于编程中的一些特定场景，如位掩码、位集合操作、优化算法、设计以及操作硬件等。它们在处理位级别的数据和优化性能方面非常有用。

有关位运算的更多技巧，可以参考 Bit Twiddling Hacks。

2.位运算技巧

2.1.与运算 (&)

2.1.1.判断奇偶性

判断奇偶性：位运算中最低位为 1 表示奇数，为 0 表示偶数。

(n & 1) == 1	// n 为奇数
(n & 1) == 0	// n 为偶数

2.1.2.判断一个数是否是 2 的幂

如果一个数是 2 的幂，那么它的二进制形式中只有最高位为 1，其他位都是 0。

(n & (n - 1)) == 0	// x 是 2 的幂
(n & (n - 1)) == 1	// x 不是 2 的幂

n & (n - 1) 的作用是消除数字 n 的二进制表示中的最后一个 1。因此，如果 n 是 2 的幂，那么 n 的二进制表示中只有一个 1，所以 n & (n - 1) 的结果必为 0。

2.1.3.将英文字母转换为大写

我们可以通过将小写字母与下划线 ‘_’ 进行与操作，将其转换为对应的大写字母。

(char) ('n' & '_') = 'N'
(char) ('N' & '_') = 'N'[添加链接描述](https://xgqngu.blog.csdn.net/article/details/130137431)

• 在位运算中，字符在内存中以数字的形式表示。在大部分字符编码中（如 ASCII 码），大写字母的编码值比小写字母的编码值要小；
• 在 ASCII 编码中，大写字母和小写字母的 ASCII 码值之间的差值为固定的 32（或二进制的 0010 0000），例如，字母 ‘A’ 的 ASCII 码值为 65，而字母 ‘a’ 的 ASCII 码值为 97，它们之间的差值就是 32。
• 而 ‘_’ 的二进制表示为 0101 1111，小写字母 a-z 的 ASCII 值范围为 97-122，即 0110 0001-0011 1101；
• 那么小写字母与 ‘_’ 相与后，相当于其对应 ASCII 值减少了 32，因此也就转换为了对应的大写字母。

2.1.4.代替取模运算

（1）一般来说，我们要求 h 除以 n 的余数，会通过取模运算 (%)，即 h % n。但当 n 是 2 的幂次方时，我们可以使用位运算来代替取模运算，从而达到提高计算效率的目的，即：

h % n == hash & (n - 1)	// n 是 2 的幂次方

（2）当 n 是 2 的幂次方时，它的二进制表示为 100…00（n 个 0）。这意味着 n - 1 的二进制表示为 011…11（n 个 1）。因此，按位与运算 h & (n - 1) 实际上是将 h 的二进制表示的最后 n 位保留，其他位都设为 0，起到了取模的效果。

（3）在这种情况下进行替换有一些具体的应用场景，例如 HashMap 中数组 table 长度被设置为 2 的 n 次方中的一个目的就是上面提到的提高计算效率，具体细节可以参考 Java 基础——HashMap 底层数据结构与源码分析这篇文章中的 3.1 章节。

2.2.或运算 (|)

2.2.1.将英文字母转换为小写

我们可以通过将大写字母与空格 ’ ’ 进行或操作，将其转换为对应的小写字母。

(char) ('N' | ' ') = 'n'
(char) ('n' | ' ') = 'n'

• 其原理与上面的通过与操作将英文字符转换为大写类似，空格字符在 ASCII 编码中的值为 32（十进制），其二进制表示为 0010 0000。
• 而大写字母 A-Z 的 ASCII 值范围为 65-90，即 0110 0001-0011 1101；
• 那么大写字母与 ’ ’ 相或后，相当于其对应 ASCII 值增加了 32，因此也就转换为了对应的小写字母。

2.3.异或运算 (^)

2.3.1.消除成对相同的数

（1）异或运算有两个非常重要的性质：

• 一个数和 0 做异或运算的结果为它本身，即 a ^ 0 = a。
• 一个数和它本身做异或运算结果为 0，即 a ^ a = 0；

（2）其中，第二条性质明显有一个重要的用途，即消除成对相同的数，如果再结合异或运算的交换律，那么我们可以很迅速地解决 136.只出现一次的数字这题，即给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。

class Solution {
	public int singleNumber(int[] nums) {
		int single = 0;
		/*
			对于本题，只要把所有数字进行异或，成对的数字就会变成 0，落单的数字和 0 做异或还是它本身，
			所以最后异或的结果就是只出现⼀次的元素。
		*/
		for (int num : nums) {
		   single ^= num;
		}
		return single;
	}
}

268.丢失的数字 这题也可以通过这个技巧来解决。

2.3.2.不使用临时变量来交换两个数

int a = -1;
int b = 2;
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
System.out.println("a = " + a);     // a = 2
System.out.println("b = " + b);     // b = -1

其实，上面不使用临时变量来交换两个数是基于 a ^ a = 0 这一性质实现的，具体推导过程如下：

a ^= b;		// a1 = a ^ b
b ^= a;		// b1 = b ^ a1 = b ^ (a ^ b) = a
a ^= b;		// a2 = a1 ^ b1 = (a ^ b) ^ a = b

2.3.3.进行英文字母大小写互换

(char) ('n' ^ ' ') = 'N'
(char) ('N' ^ ' ') = 'n'

• 其原理与上面的通过与操作将英文字符转换为大写类似，空格字符在 ASCII 编码中的值为 32（十进制），其二进制表示为 0010 0000。
• 而大写字母 A-Z 的 ASCII 值范围为 65-90，即 0110 0001-0011 1101；
• 而小写字母 a-z 的 ASCII 值范围为 97-122，即 0110 0001-0011 1101；
• 大小写字母与 ’ ’ 相异后，小写字母对应 ASCII 值减少了 32，大写字母对应 ASCII 值增加了 32，因此也就进行了英文字母大小写互换。

2.3.4.判断两个数是否异号

计算机底层中整数通常使用补码来表示，通过位运算判断两个数是否异号的原理是就是利用了补码表示中最高位符号位的特性。默认情况下，整数的最高位为符号位，0 表示正数，1 表示负数。通过位运算判断两个数是否异号的步骤如下：

• 对两个数进行异或运算 (^)。异或运算的结果在二进制表示中，两个数对应位相同则为 0，相异则为 1。
• 如果结果小于 0，则说明这两个数异号；如果结果大于 0，则说明这两个数同号。

int a = 1;
int b = 2;
System.out.println(((a ^ b) < 0));  // false，a 和 b 同号

int c = -1;
int d = 2;
System.out.println(((c ^ d) < 0));  // true，a 和 b 异号

2.4.取反运算 (~)

2.4.1.自增

int n = 2;
n = -~n;
System.out.println(n);	// 3

2.4.2.自减

int n = 2;
n = ~-n;
System.out.println(n);	// 1

2.5.移位运算 (<<、>>、>>>)

2.5.1.乘以 2

在二进制表示中，将一个数乘以 2 就等于将它向左移动 1 位，低位补 0。

int n = 3;
n <<= 1;
System.out.println(n);		// 6

2.5.2.除以 2

在二进制表示中，将一个数乘以 2 就等于将它向右移动 1 位，高位补符号位。

int n = 4;
n >>= 1;
System.out.println(n);		// 2

更多有关 Java 中移位运算符的细节可以参考 Java 基础面试题——运算符这篇文章。

3.应用

大家可以去 LeetCode 上找相关的位运算的题目来练习，或者也可以直接查看 LeetCode 算法刷题目录 (Java) 这篇文章中的位运算章节。如果大家发现文章中的错误之处，可在评论区中指出。