证明E(X+Y) =E(X) + E(Y)

E(X+Y) =E(X) + E(Y)的成立是不需要X和Y相互独立的！！！

离散型随机变量

$$\begin{array}{rl}E(X+Y)& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(x_i+y_j)P\{X=x_i,Y=y_j\}\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{x}_{i}P\{X=x_i,Y=y_j\}+\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{y}_{j}P\{X=x_i,Y=y_j\}\\ & =\sum _{i=1}^n{x}_i\sum _{j=1}^{m}P\{X=x_i,Y=y_j\}+\sum _{i=1}^n{y}_j\sum _{j=1}^{m}P\{X=x_i,Y=y_j\}\\ & =\sum _{i=1}^n{x}_{i}P\{X=x_i\}+\sum _{i=1}^n{y}_{j}P\{Y=y_j\}\\ & =E(X)+E(Y)\end{array}$$

连续型随机变量

$$\begin{array}{rl}E(X+Y)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }(x+y)p(x,y)dxdy\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }xp(x,y)dxdy+{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }yp(x,y)dxdy\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }xdx{\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dy+{\int }_{-\infty }^{+\infty }ydy{\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }x{f}_X(x)dx+{\int }_{-\infty }^{+\infty }y{f}_Y(y)dy\\ & =E(X)+E(Y)\end{array}$$

其实离散型随机变量和连续型随机变量推导的思路是一摸一样的，只不过一个是求和一个是积分而已。需要注意的是，我们并不需要知道联合概率分布$P\{X=x_i,Y=y_j\}$或联合概率密度$p(x,y)$，而是在过程中计算出边缘分布，这里其实可以体会到边缘分布在推导中带来的作用。

这个公式虽然非常简单，但是非常重要，因为它是一系列期望，方差，协方差公式推导的基础。