2021-07-31-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 阶及其应用 P055 例6）
设和为整数,均不为,且.证明:至多有有限个,使得.
证明
因,故有素因子.首先设有奇素数因子,则.设模的阶为,因,故有正整数使得.
若有无穷多个使得,从而有无穷多个满足
(1)
由例5得知,模的阶是,故由(1)知,从而,这样的显然只有有限多个,产生矛盾.
若没有奇素数因子,则是的方幂.首先注意,若奇数使得,则
(2)
被整除.但(2)中后一个因数是奇数个奇数之和,故是奇数,从而.因,这样的至多有有限多个.
设有无穷多个偶数使得,则
.(3)
定义满足,则.由例5知,当时,模的阶为,故在时,由(3)推出,从而,但这样的至多有有限多个矛盾!
2021-07-31-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 阶及其应用 P056 习题1）
证明:费马数的任一个约数均.
证明
只要证明的任一个素因子满足.显然.设模的阶为,由得
,(1)
故,从而,所以是的方幂.设,其中.
若,则由反复平方,可推出,结合(1)得,这不可能.故必须.又从而有,故,即.
2021-07-31-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 阶及其应用 P056 习题2）
(1)设是互素的正整数,.是一个与互素的整数.设模及模的阶分别为、,则模的阶为;
(2)求出模的阶.
解
(1)设模的阶为.由可得及.故及,从而.另一方面,由及,推出,及.因,故,于是.综合两方面的结果即知.
(2)直接验算可知模的阶为.又易知模的阶为,故由例5中(1)可知,模的阶为.因此由本题的(1)推出,模的阶为.
2021-07-31-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 阶及其应用 P056 习题3）
证明,对任何整数,都存在正整数,使得.
证明
采用归纳法.时结论显然成立.设对有使得,设.若是偶数,则.以下设是奇数.
论证的关键是注意,对有
,是奇数
(参见本单元例5中的(3).)现在我们有
上式括号内的数是偶数,故整除.这就完成了归纳证明.
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2021-07-31-05
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 阶及其应用 P056 习题4）
证明,若整数,则.
证明
反证法,设有,使.设是的最小素因子,则,从而.故有整数,使得.因此有
.
设是模的阶.由上式知.又费马小定理给出,故.若,则有素因子,而由知;由知,这与的选取相违,故.从而,结合可知,进而,产生矛盾.