微分方程与传递函数

一、RC电路的微分方程与传递函数

根据电路关系可得：Ur=I*R+Uc，I=dUc/dt

 

在零初始条件下，对方程组两边同时做拉氏变换得

其传递函数为：

令R*C=T，

1/(T*S+1)是典型的惯性环节

二、LRC电路的微分方程与传递函数

根据电路关系可得：Ur=L*di/dt+I*R+Uc，I=dUc/dt

在零初始条件下，对方程组两边同时做拉氏变换得

其传递函数为：

三、典型运动系统微分方程与传递函数

如图所示，a点的位移为yi(t),质量块m的位移为y0(t),k为弹簧的弹性系数，f为质量块m运动时的摩擦系数。

在零初始条件下，对方程组两边同时做拉氏变换得

k*Yi(s)=m*s^2Yo(s)+f*s*Yo(s)+k*Yo(s)

其传递函数为：

四、阻抗法求传递函数

阻抗，简单的说就是阻碍作用，是广义上的等效电阻。

1、电阻元件

U=i(t)*R

等式两边做拉氏变换得：U(s)=R*I(s)

可得电阻元件的阻抗为：Zr=R=U(s)/I(s)

2、电感元件

U(t)=L*di/dt

等式两边做拉氏变换得：U(s)=L*S*I(s)

可得电阻元件的阻抗为：ZL=L*S=U(s)/I(s)

3、电容元件

U(t)=∫i(t)dt/C

等式两边做拉氏变换得：U(s)=I(s)/CS 

可得电容元件的阻抗为：Zc=1/CS=U(s)/I(s)

4、阻抗的串并联

阻抗的串联：Z=z1+z2

阻抗的并联：1/Z=1/Z1+1/Z2

5、阻抗与传递函数的关系

输入阻抗（input impedance）是指一个电路输入端的等效阻抗。

输出阻抗（output impedance）是在出口处测得的阻抗（将输出端示为输入端的输入阻抗）。

传递函数=输出阻抗/输入阻抗。

例 求RC电路的传递函数（电路图如上述所示）

输入阻抗Zi(s)=R+1/(C*S)，输出阻抗Zo(s)=1/(C*S)

传递函数G(s)=Zo(s)/Zi(s)=1/(R*C*S+1),其运算结果与（一）相同。