数电笔记总结（二）（逻辑代数基础）

基本逻辑运算

1.“与”运算（逻辑乘）

表达式：

真值表：

逻辑图形符号：

2.“或”运算（逻辑加）

表达式：

真值表：

逻辑图形符号：

3.“非”运算（逻辑非）

表达式：

真值表：

逻辑图形符号：

几种常用复合逻辑运算

逻辑代数的基本公式和规则

逻辑函数的表示方法

例如表达式为

1.真值表法

2.逻辑图法

逻辑函数的基本公式

1.基本运算

数值与数值的关系

数值与变量的关系（0-1律）
与 或

变量与变量的关系（重叠律）
与 或 非

2.与普通代数相类似的公式

交换律
A+B=B+A
结合律
A+(B+C)=(A+B)+C
分配律
A(B+C)=AB+AC, A+BC=(A+B)(A+C)
因为：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A+BC

3.逻辑代数的特有公式

4.四种常用的运算

（1）异或

变量相异为1，反之为0
（2）同或

变量相同为1，反之为0
重要公式

5.逻辑代数公式的证明

1.真值表法：检查等式两边函数的真值表是否相等
2.代数法：用已证明的公式（特别是逻辑函数的基本运算）、定理来推导

逻辑函数的基本规则

1.反演规则

如果将逻辑函数F中所有的“ * ”变成“+”； “+”变成“ * ”； “0”变成“1”； “1”变成 “0”； 原变量变成反变量；反变量变成原变量； 所得到的新函数是原函数的反函数。

如：

反演后为：

注意：
（1）保持原函数的运算顺序（先括号，再与，再或）
（2）不属于单个变量的反号保持不变（长非号）

2.对偶规则

如果将逻辑函数F中所有的“ * ”变成“+”； “+”变成“ * ”；“0”变成“1”； “1”变成“0”； 则所得到的新逻辑函数是F的对偶式F’。（即与比反演规则少了变量变化）

如：

3.代入规则

任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F ，则等式仍然成立。
例如：给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若用A+BC代替A，则该等式仍然成立
即： (A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C

逻辑函数的化简

按逻辑函数表达式中乘积项的特点以及各乘积项之间的关系，可分5种一般形式。 函数表达式一般化简成**与或式，**条件为：
1.表达式中与项最少
2. 在满足1）的前提下, 每个"与项"中的变量个数最少
例如：

化简方法

1.代数化简法（公式法）

基本公式中的A和B可以是任何复杂的逻辑式
（1）并项法
利用公式
例如：

（2）吸收法
利用公式A+AB=A
例如：

（3）消去法
消去A非
利用公式
例如：

（4）配项法
利用公式A+A=A
例如：

此外还可以利用公式A+A非=1来化简其他式子
化简比较复杂的式子时，先使用分配律，再用公式化简

2.卡诺图化简法

最小项的编号

最小项的表达式记为

写出最小项表达式的方法
（1）一般表达式化简（比较复杂不推荐）
（2）直接写出（看最小项缺哪个变量，根据变量的两种可能直接写出）
（3）用真值表求（推荐）
最小项的卡诺图
将n个输入变量的2 n个最小项各用一个 小方块表示，把它们排成矩阵,并且保证相 邻的最小项只有一个变量不同，所得到的 阵列图就是n变量的卡诺图。
二变量卡诺图
A和B上下位置可换

三变量卡诺图
两个或以上变量，按格雷码规则排列 ↓

四变量卡诺图

** 用卡诺图表示逻辑函数 **
将函数化成最小项之和的形式，在卡诺图中将与这些最小项对应的位置填入”1” ,其余位置填入”0”。
真值表、表达式、逻辑图、波形图、卡诺图 都可以表达一个逻辑函数。
方法：真值表法、表达式法
真值表法

表达式法

卡诺图化简
化简步骤：
（1）根据表达式或真值表填写卡诺图
（2）对相邻项方格画卡诺圈
（3）将每个圈消去互补变量合并为一项，这些项相加即为化简结果
例如：